生成树计数——矩阵树定理学习小记

此篇博客没有证明（我太菜了），只有结论。

要证明见栋栋的博客 。

生成树计数，顾名思义，就是求生成树的方案数。

基尔霍夫矩阵：

定义度数矩阵D,$D_{i,i}=点i的度$数
再定义邻接矩阵C,$C_{i,j}=[i、j之间有边]$
$基尔霍夫矩阵=D-C$

行列式：

对于一个$n\ast n$的矩阵$A$，它的行列式=
${\sum }_{b是1-n的排列}(-1{)}^{b的逆序对数}{\prod }_{i=1}^n{A}_{i,b_i}$

$a$的行列式记作$det(a)$或$|a|$

行列式的一些显然（并不）的性质：

1.$|A|=|A^T|$
显然。

2.$|AB|=|A|\ast |B|$
$A\ast B$的矩阵乘法中，相当于把A的第i行和B的第j行点积，等价于把A的第i行和$B^T$的第j行点积，看一下行列式定义，可得：
$|AB|=|A|\ast |B^T|$
又∵$|B|=|B^T|$
∴$|AB|=|A||B|$

推论：

1.交换的A的两行变成了B，则$|A|=-|B|$
交换两行逆序对个数就少了1，所以取负。

2.把A的一行乘上x变为B，显然有$x|A|=|B|$

3.把A的一行乘上x加到另外一行上变为B，有$|A|=|B|$
这个一行乘上x加到另外一行上，相当于乘上一个对角线上全是1，且不是对角线的某个位置为x，考虑这个转移矩阵的行列式，显然是1，根据之前的性质2，,就有$|A|=|B|$

高斯消元求行列式：

前面讲了那么多的推论肯定都是用来消元的。

会高斯消元就很简单了，套上去即可。

矩阵树定理：

定义一个矩阵A的余子式$M_{i,j}$为A去掉第i行第j列的行列式。

那么一个图的基尔霍夫矩阵的任意余子式$M_{i,i}$就是生成树个数。

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update 2019.4.30：
省选前复习发现这个还有一些拓展：
https://www.cnblogs.com/reverymoon/p/9512836.html#_lab1

1.大概就是如果边有边权x就可以视作有x条边。

2.有向图的外向和内向生成树计数只用改变度数矩阵。

外向的话就只有出边的权和，内向的话只有入边的权和。