单位根反演学习小记

裸题：
bzoj3328

在学习这个之前建议对FFT中的求和引理有一定的了解。

单位根反演就是对：
${\sum }_{i|k}{C}_n^i(modp)$进行变换，
p是质数，$k|p-1$，n比较大

设$modp$下的原根为g,$w=g^{(p-1)/k}$，k比较小

w的含义就是k次单位复数根，不过这里的根不是复数，而是mo意义下类似的一个东西。

w的性质是$w^{0-k-1}$互不相同，且$w^i=w^{imodk}$

单位根反演就是：
$\frac{1}{k}{\sum }_{i=0}^{k-1}{w}^{ij}=[j|k]$

我们来尝试证明这个结论：
1.j|k
则$w^j=1$，那么左式=1，成立。

2.j不整除k
则$w^j̸=1$，于是左式可以等比数列求和：
$su{m}_{i=0}^{k-1}(w^j{)}^i$
$=\frac{w^{jk}-1}{w^j-1}$
$\frac{1-1}{w^j-1}=0$

那么也是对的。

那么我们做一下这个裸题：
$Ans={\sum }_{i=0}^{n/k}{C}_n^{ik}\ast F(ik)$
$=\frac{1}{k}{\sum }_{i=0}^n{C}_n^i\ast F(i)\ast {\sum }_{j=0}^{k-1}{w}^{ij}$
内层外移：
$=\frac{1}{k}{\sum }_{j=0}^{k-1}{\sum }_{i=0}^n{C}_n^i\ast F(i)\ast w_j^i$
斐波拉契第i项可以写成一个2*2的矩阵的i次方的每一个位置的值，不妨设这个矩阵是A
$=\frac{1}{k}{\sum }_{j=0}^{k-1}{\sum }_{i=0}^n{C}_n^i\ast A^i\ast (w^j{)}^i$
第二个循环可以二项式反演：
$\frac{1}{k}{\sum }_{j=0}^{k-1}((A\ast w^j{)}^k+I{)}^n$

复杂度：$O(8k\ast logn)$