6311. Mobitel
6311. Mobitel
(File IO): input:mobitel.in output:mobitel.out
Time Limits: 6000 ms Memory Limits: 65536 KB Detailed Limits
Description
给定一个 r 行 s 列的矩阵，每个格子里都有一个正整数。
问如果从左上角走到右下角，且每次只能向右或向下走到相邻格子，那么使得路径上所有数的乘积不小于 n 的路径有多少条？
由于答案可能很大，所以请输出答案对 10^9+7 取模的结果。
Input
第一行三个正整数 r,s,n。
接下来 r 行，每行 s 个正整数，依次表示矩阵每一行的数。
Output
一行一个整数表示答案。
Sample Input
Sample 1: 2 3 200 2 3 4 5 6 7 Sample 2: 3 3 90 2 1 1 45 1 1 1 1 1 Sample 3: 2 5 3000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sample Output
Sample 1: 2 Sample 2: 3 Sample 3: 3
Data Constraint
对于 20% 的数据，矩阵中的数不超过 10；
对于 50% 的数据，1<=r,s<=100；
对于 100% 的数据，1<=r,s<=300,1<=n<=10^6，矩阵中的数不超过10^6。
Source / Author: COCI 2018/2019 Round #6 mobitel
题解：
设f[i][j][k]为走到ij ， 乘积为k的方案数。
空间承受不了。
我们设k = (n-1) / x , 表示当前乘积为x后 ， 还能乘多少。
比如当n为20 ， (n-1)=19 。当x为5和6时 ， k都为3 ， 但是他们“本质”上相同，因为5、6两个数当*4都会爆。
要推广到多个数也简单 ， 因为有定理
发现k只有2倍根号种取值 ， 编一下号 ， dp就行。
赋上定理证明 ：
记 a = (x * c + y) * b + z
其中 0 <= y < c, 0 <= z < b
可得 a = x * b * c + y * b + z
[[a / b] / c] = [(x * c + y) / c] = x
[a / (b * c)] = x + (y * b + z) / (b * c)
假设 [[a/b]/c] != [a/(b*c)]
则有 y * b + z >= b * c
等同 z >= (c - y) * b
因为 y < c, 所以c - y >= 1,
又因 z < b, 所以上式不成立
故原命题得证。
#include
#include
#include
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define mcy(a,b) memcpy(a,b,sizeof(a))
#define N 310
#define maxn (ll)(1e6)
#define SQ 3001
#define ll long long
#define re register
#define inf 2147483647
#define mod (ll)(1e9+7)
#define open(x) freopen(x".in","r",stdin);freopen(x".out","w",stdout)
using namespace std;
template
T in(T &x)
{
char ch(0);T f=0; x=0;
while(ch < '0' || ch > '9') ch = getchar() , f |= ch == '-';
while(ch>='0' && ch<='9') x = (x<<1) + (x<<3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f ? (x = -x) : x;
}
int LIMIT,m,n;
int a[N][N], g[2][N][SQ];
int st[SQ],cnt,ff[maxn];
void dp()
{
mem(st,cnt=0);
for(int i=1;i<=LIMIT;i++) ((LIMIT-1) / i!=st[cnt]) && (st[++cnt] = (LIMIT-1)/i ,ff[st[cnt]]=cnt);
g[0][1][ff[(LIMIT-1)/a[1][1]]]=1;
for(int i=1;i<=n; i++ , (i<=n) && mem(g[i&1],0))
for(int j=1;j<=m;j++)
for(int k=1;k<=cnt;k++)
if(g[~i&1][j][k])
i