今天是2012年12月22日。今天的算法练习题是最长公共子序列的长度求解。
         此题初看时，感觉问题非常复杂，要求解两个序列的最长的(可以不连续)的公共子序列。但是，"将复杂的问题分解成简单的问题"是基本的程序设计思想。分治法是将一个大问题分解成多个相似的小问题，而本题采用的动态规划算法，则是将复杂的问题分解成一系列的相似的子问题。另外，将所求解的子问题的解通过数组等容器保存起来，来节省重复求解相同子问题的时间，是动态规划算法的一个很重要的思想:备忘录思想。
         另外，本题还将采用逆向的思路，这与常规的顺序的思路相悖。str1[a],str2[b]两个字符串，不是从左至右的考虑，而是从右至左的方向。
         分析过程如下:
         str1[a],str1[b]是待求最长公共子序列的两个字符串，假设result[c]就是其最长公共子序列。
         那么就有以下3种情况。
         1.如果str1[a-1]==str2[b-1]，那么肯定有result[c-1]=str1[a-1]=str2[b-1],即最后一个元素一定是最长公共子序列的一部分。那么，就可以不再考虑str1[a-1],str2[b-1],result[c-1],从他们之前的元素开始讨论，也就是意味着，result[c-2]及之前的元素就是str1[a-2]之前的元素与str[b-2]之前的元素的最长公共子序列。
         2.如果str1[a-1]!=str2[b-1],而且result[c-1]!=str1[a-1]，那么就可以肯定,str1[a-1]不在最长公共子序列中，也就是说，result[c-1]及之前的元素就是str1[a-2]之前的元素与str2[b-1]之前的元素的最长公共子序列。
         3.如果str1[a-1]!=str2[b-1],而且result[c-1]!=str2[b-1]，类似的，就可以肯定,str1[b-1]不在最长公共子序列中，也就是说，result[c-1]及之前的元素就是str1[a-1]之前的元素与str2[b-2]之前的元素的最长公共子序列。
         由此，可以得到递归方程。(ps:我不知道在这里如何插入公式，如果您知道，请告诉小弟我，非常感谢!)
         max_len[i][j]=0                                      如果i<=0 || j<=0     (当一个序列长度为0时，也就没有意义)
                            =1 +max_len[i-1][j-1]         如果str1[i-1]==str2[j-1]      (对应上面第1种情况)
                            =MAX(max_len[i-1][j],max_len[i][j-1])   如果str1[i-1]!=str2[j-1]     (对应上面第2,3种情况)
         思路已经很清晰了，代码如下:
最长公共子序列 
 1 #include 
 2 #include 
 3 #define MAX 100
 4 
 5 int max(int num1,int num2);
 6 
 7 //记录a[i],b[j]的最长公共子序列的长度
 8 int max_len[MAX+2][MAX+2]={0};
 9 
10 char a[MAX]="abcde";
11 char b[MAX]="afffbcde";
12 
13 int main()
14 {
15     int len_a=strlen(a);
16     int len_b=strlen(b);
17     int result_max=0;
18     int i,j;
19     LCS(len_a,len_b); 
20     for(i=1;i<=len_a;i++)
21     {
22         for(j=1;j<=len_b;j++) 
23         {
24             if(result_max<=max_len[i][j]) 
25                 result_max=max_len[i][j];
26         }
27     }
28     printf("result: %d\n",result_max);
29     return 0;
30 }
31 
32 int LCS(int m,int n)
33 {
34     if(m<=0 || n<=0)
35         return 0;
          else if(max_len[m][n]!=0)
             return max_len[m][n];
36     else if(a[m-1]==b[n-1])
38         return (max_len[m][n]=LCS(m-1,n-1)+1);
40     else
41         return (max(LCS(m,n-1),LCS(m-1,n)));
42 }
43 
44 int max(int num1,int num2)
45 {
46     return (num1>num2?num1:num2);
47 }
          明天得把具体的最长公共子序列给打印出来。
          以下内容补充于2012年12月23日:
          昨天留了个问题，就是打印出最长公共子序列。想了一会，没什么思路，就索性把max_len给打印出来，结果一打印我才发现，我把问题想得太复杂了。这本是一个多么简单的问题。
          比如str1="abbcd";  str2="afffbcd";  那么打印出max_len:
?
1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 0 3 0
0 0 0 0 0 0 4
　　 一目了然了。当且仅当str1[a-1]==str2[b-1]时，肯定会使得max_len中对应元素加1.
       在程序中加一步就可以了。如下:
       
1  for(i=1;i<=len_a;i++)
2     {
3         for(j=1;j<=len_b;j++) 
4         {
5             if(max_len[i][j]!=0)
6                 printf("%c ",a[i-1]);
7         }
8     }
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