[程序员的数学]notes——chapter 8

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第8章 不可解问题——不可解的数、无法编写的程序

 

反证法（归谬法）：假设“命题的否定形式”成立 -> 根据假设进行论证，推导出矛盾的结果。

思考题：为什么不存在“最大的整数”、质数是无穷的

 

可数（countable）：集合的元素是有限的，或者集合中的所有元素都与正整数一一对应。

元素可按一定规律既无“遗漏”也无“重复”地数出来。

可数集合的例子：

有限集合是可数的；

0以上的所有偶数的集合是可数的；

所有整数的集合是可数的；

所有有理数（整数/1以上的整数）的集合是可数的；

程序的集合是可数的。

 

存在不可数集合，不可数集合是元素不能与1以上的整数一一对应的集合。

 

对角论证法（康托尔 提出）

所有整数数列（无穷个整数的排列）的集合是不可数的；

所有实数的集合是不可数的；

所有函数的集合也是不可数的。

 

不可解问题：原则上不能用程序来解决的问题。

 

停机问题（Halting Problem）：判断“某程序在给定数据下，是否会在有限时间内结束运行”的问题。

判断程序是否停机的HaltChecker，绝对是任何人都无法写出来的。

图灵（Alan Turing 1912-1954）在1936年证明了停机问题。

 

费马大定理（Fermat's last theorem）：

当整数n>2时，关于x,y,z的不定方程 x的n次方+y的n次方=z的n次方 无正整数解。

 

哥德巴赫猜想：任一大于3的偶数都可写成2个质数之和。