V1 = (x1, y1, z1)
V2 = (x2, y2, z2)
V3 = (x3, y3, z3)
V4 = (x4, y4, z4)
要检测的点定义为：P = (x, y, z)
可以根据这些点组成的4个行列式来进行判断：
D0
|x1 y1 z1 1|
|x2 y2 z2 1|
|x3 y3 z3 1|
|x4 y4 z4 1|
D1
|x y z 1|
|x2 y2 z2 1|
|x3 y3 z3 1|
|x4 y4 z4 1|
D2
|x1 y1 z1 1|
|x y z 1|
|x3 y3 z3 1|
|x4 y4 z4 1|
D3
|x1 y1 z1 1|
|x2 y2 z2 1|
|x y z 1|
|x4 y4 z4 1|
D4
|x1 y1 z1 1|
|x2 y2 z2 1|
|x3 y3 z3 1|
|x y z 1|
判据：
如果Di (i=1,2,3,4)与D0的符号都相同，即同为正，或同为负，那么P点就在四面体内部；
否则P点在四面体外部。
2、算法的Java实现：
/**
* 判断点是否在四面体内
*
* @param point
* 含有三个元素的数组，表示点的坐标
* @param box
* 4X3的二维数组，四面体四个顶点的坐标
* @return
*/
static boolean pointInTetrahedron(double[] point, double[][] box) {
// 标志点是否在四面体内
boolean flag = true;
// 扩展四面体矩阵，最后增加一列，数值全为1
double[][] ts = new double[4][4];
for (int j = 0; j < ts.length; j++) {
for (int j2 = 0; j2 < ts.length - 1; j2++) {
ts[j][j2] = box[j][j2];
}
ts[j][3] = 1;
}
// 查看扩展后的矩阵
System.out.println("扩展的四面体为：");
for (int i = 0; i < ts.length; i++) {
for (int j = 0; j < ts.length; j++) {
System.out.print(ts[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
// 用点的坐标分别替换四面体的点坐标，得到新的矩阵
for (int i = 0; i < ts.length; i++) {
// 数组的深度拷贝
// 注意：对于一维数组可以直接使用clone()进行复制，
//但是对于二维数组必须对每一行进行深度复制才行
double[][] ti = new double[ts.length][ts[0].length];
for (int j = 0; j < ts.length; j++) {
ti[j] = ts[j].clone();
}
// 点坐标替换四面体的点坐标
ti[i][0] = point[0];
ti[i][1] = point[1];
ti[i][2] = point[2];
// 输出新的矩阵
System.out.println("替换的四面体为：");
for (int im = 0; im < ts.length; im++) {
for (int j = 0; j < ts.length; j++) {
System.out.print(ti[im][j] + " ");
}
System.out.println();
}
// 如果点坐标替换之后的矩阵与原四面体矩阵两者符号不同，P点不在四面体内
if (determinant(ts) * determinant(ti) < 0) {
flag = false;
break;
}
}
return flag;
}
3、上面判断了点是否在多面体内，以来上面的程序，就可以进行点与长方体关系的判断。
算法原理：
(1)首先将长方体划分为四面体（每个长方体划分为5个四面体）
(2)分别判断点与以上四面体的关系，只有点不在任意一个四面体时，表示点不在长方体内。
程序实现如下：
/**
* 判断点是否在长方体内
* 首先将长方体划为5个四面体，分别判断点是否在这几个四面体内
* 如果这个点在任何一个四面体内部，那么这个点就在这个多面体内部；
* 如果这个点不在任何一个四面体内部，那么这个点就不在这个多面体内部。
* @param point 点的坐标
* @param box 长方体的三个基矢
* @return
*/
public static boolean pointInBox(double[] point,double[][] box){
//标志点是否在长方体内，true表示点在长方体内，false不在
boolean flag=true;
//将长方体划分为五个四面体
double[][] t0={{box[0][0],box[0][1],box[0][2]},
{box[2][0],box[2][1],box[2][2]},
{box[2][0]+box[0][0],box[2][1]+box[0][1],box[2][2]+box[0][2]},
{box[0][0]+box[1][0]+box[2][0],box[0][1]+box[1][1]+box[2][1],box[0][2]+box[1][2]+box[2][2]}};
double[][] t1={{box[0][0],box[0][1],box[0][2]},
{box[1][0],box[1][1],box[1][2]},
{box[2][0],box[2][1],box[2][2]},
{box[0][0]+box[1][0]+box[2][0],box[0][1]+box[1][1]+box[2][1],box[0][2]+box[1][2]+box[2][2]}};
double[][] t2={{box[0][0],box[0][1],box[0][2]},
{box[1][0],box[1][1],box[1][2]},
{box[0][0]+box[1][0],box[0][1]+box[1][1],box[0][2]+box[1][2]},
{box[0][0]+box[1][0]+box[2][0],box[0][1]+box[1][1]+box[2][1],box[0][2]+box[1][2]+box[2][2]}};
double[][] t3={{box[2][0],box[2][1],box[2][2]},
{box[1][0],box[1][1],box[1][2]},
{box[2][0]+box[1][0],box[2][1]+box[1][1],box[2][2]+box[1][2]},
{box[0][0]+box[1][0]+box[2][0],box[0][1]+box[1][1]+box[2][1],box[0][2]+box[1][2]+box[2][2]}};
double[][] t4={{0,0,0},
{box[0][0],box[0][1],box[0][2]},
{box[1][0],box[1][1],box[1][2]},
{box[2][0],box[2][1],box[2][2]}};
//点不在任意一个四面体内，说明点不在该长方体内
boolean f1=pointInTetrahedron(point, t0);
boolean f2=pointInTetrahedron(point, t1);
boolean f3=pointInTetrahedron(point, t2);
boolean f4=pointInTetrahedron(point, t3);
boolean f5=pointInTetrahedron(point, t4);
System.out.println(f1+" "+f2+" "+f3+" "+f4+" "+f5);
if(!pointInTetrahedron(point, t0)&&!pointInTetrahedron(point, t1)&&
!pointInTetrahedron(point, t2)&&!pointInTetrahedron(point, t3)&&
!pointInTetrahedron(point, t4)){
flag=false;
}
return flag;
}