红黑树

平衡二叉搜索树(Self-balancing binary search tree)又被称为AVL树(有别于AVL算法),且具有以下性质:它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1,并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。 最小二叉平衡树的节点总数的公式如下 F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1 这个类似于一个递归的数列,可以参考Fibonacci(斐波那契)数列,1是根节点,F(n-1)是左子树的节点数量,F(n-2)是右子树的节点数量。

红黑树属于平衡二叉树。它不严格是因为它不是严格控制左、右子树高度或节点数之差小于等于1,但红黑树高度依然是平均log(n),且最坏情况高度不会超过2log(n)。 它可以在O(log n)时间内做查找,插入和删除,这里的n 是树中元素的数目。

红黑树(red-black tree) 是一棵满足下述性质的二叉查找树:

1. 每一个结点要么是红色,要么是黑色。

2. 根结点是黑色的。

3. 所有叶子结点都是黑色的(实际上都是Null指针,下图用NIL表示)。叶子结点不包含任何关键字信息,所有查询关键字都在非终结点上。

4. 每个红色结点的两个子节点必须是黑色的。换句话说:从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色结点

5. 从任一结点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色结点

 

红黑树相关定理

1. 从根到叶子的最长的可能路径不多于最短的可能路径的两倍长。

      根据上面的性质5我们知道上图的红黑树每条路径上都是3个黑结点。因此最短路径长度为2(没有红结点的路径)。再根据性质4(两个红结点不能相连)和性质1,2(叶子和根必须是黑结点)。那么我们可以得出:一条具有3个黑结点的路径上最多只能有2个红结点(红黑间隔存在)。也就是说黑深度为2(根结点也是黑色)的红黑树最长路径为4,最短路径为2。从这一点我们可以看出红黑树是 大致平衡的。 (当然比平衡二叉树要差一些,AVL的平衡因子最多为1)

 

2. 红黑树的树高(h)不大于两倍的红黑树的黑深度(bd),即h<=2bd

      根据定理1,我们不难说明这一点。bd是红黑树的最短路径长度。而可能的最长路径长度(树高的最大值)就是红黑相间的路径,等于2bd。因此h<=2bd。

 

3. 一棵拥有n个内部结点(不包括叶子结点)的红黑树的树高h<=2log(n+1)

      下面我们首先证明一颗有n个内部结点的红黑树满足n>=2^bd-1。这可以用数学归纳法证明,施归纳于树高h。当h=0时,这相当于是一个叶结点,黑高度bd为0,而内部结点数量n为0,此时0>=2^0-1成立。假设树高h<=t时,n>=2^bd-1成立,我们记一颗树高 为t+1的红黑树的根结点的左子树的内部结点数量为nl,右子树的内部结点数量为nr,记这两颗子树的黑高度为bd'(注意这两颗子树的黑高度必然一 样),显然这两颗子树的树高<=t,于是有nl>=2^bd'-1以及nr>=2^bd'-1,将这两个不等式相加有nl+nr>=2^(bd'+1)-2,将该不等式左右加1,得到n>=2^(bd'+1)-1,很显然bd'+1>=bd,于是前面的不等式可以 变为n>=2^bd-1,这样就证明了一颗有n个内部结点的红黑树满足n>=2^bd-1。

        在根据定理2,h<=2bd。即n>=2^(h/2)-1,那么h<=2log(n+1)

        从这里我们能够看出,红黑树的查找长度最多不超过2log(n+1),因此其查找时间复杂度也是O(log N)级别的。


 

红黑树的操作

 

因为每一个红黑树也是一个特化的二叉查找树,因此红黑树上的查找操作与普通二叉查找树上的查找操作相同。然而,在红黑树上进行插入操作和删除操作会导致不 再符合红黑树的性质。恢复红黑树的属性需要少量(O(log n))的颜色变更(实际是非常快速的)和不超过三次树旋转(对于插入操作是两次)。 虽然插入和删除很复杂,但操作时间仍可以保持为 O(log n) 次 。

 

红黑树的优势

 

红黑树能够以O(log2(N))的时间复杂度进行搜索、插入、删除操作。此外,任何不平衡都会在3次旋转之内解决。这一点是AVL所不具备的。

而且实际应用中,很多语言都实现了红黑树的数据结构。比如 TreeMap, TreeSet(Java )、 STL(C++)等。

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