【洛谷2051】[AHOI2009] 中国象棋（烦人的动态规划）

点此看题面

大致题意： 让你在一张$N\ast M$的棋盘上摆放炮，使其无法互相攻击，问有多少种摆法。

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辟谣

听某大佬说这是一道**状压$DP$**题，于是兴冲冲地去做，看完数据范围彻底懵了：$N\le 100$！这么大的数据范围压死你！

好吧，其实这就是一道普通的$DP$，与状压没有任何关系。

其实状压可以用来骗分，能得50。

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考虑性质

对于这种题目，第一步肯定是考虑有没有什么比较重要的性质。

考虑炮的攻击方法，应该不难发现，每一行、每一列放的炮的数量不能超过$2$。

保证每行不超过$2$，应该很简单。

那么如何处理每列不超过$2$呢？这时就不难想到用$f_{i,j,k}$来表示当前处理到第$i$行，有$j$列有$1$个炮，$k$列有$2$个炮时的方案数。

这样一来，应该就有一个比较清晰的思路了。

接下来，就是无比烦人的分类讨论。

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分类讨论

不难发现，这题的状态有很多转移方式，因此就需要用到分类讨论。

• 第一种情况： 这一行什么棋子也不放。

  直接将$f_{i,j,k}$加上$f_{i-1,j,k}$即可。

• 第二种情况： 在没有放过炮的一列上放一个炮。

  比较显然应从状态$(i-1,j-1,k)$转移过来。

  $\because$在转移之前有$(m-i-j+1)$列是没有放过炮的，

  $\therefore$放炮的方式共有$(m-i-j+1)$种，

  $\therefore$将$f_{i,j,k}$加上$(m-i-j+1)\ast f_{i-1,j-1,k}$。

• 第三种情况： 在没有放过炮的两列上各放一个炮。

  此时的状态应从状态$(i-1,j-2,k)$转移过来。

  $\because$在转移之前有$(m-i-j+2)$列是没有放过炮的，

  $\therefore$放炮的方式共有$C_{m-j-k+2}^2$种，即$\frac{(m-j-k+1)\ast (m-j-k+2)}{2}$种，

  $\therefore$将$f_{i,j,k}$加上$\frac{(m-j-k+1)\ast (m-j-k+2)}{2}\ast f_{i-1,j-2,k}$。

• 第四种情况： 在放过一个炮的一列上放一个炮。

  此时的状态应从状态$(i-1,j+1,k-1)$转移过来。

  $\because$在转移之前有$(j+1)$列是放过一个炮的，

  $\therefore$放炮的方式共有$(j+1)$种，

  $\therefore$将$f_{i,j,k}$加上$(j+1)\ast f_{i-1,j+1,k-1}$。

• 第五种情况： 在放过一个炮的两列上各放一个炮。

  此时的状态应从状态$(i-1,j+2,k-2)$转移过来。

  $\because$在转移之前有$(j+2)$列是放过一个炮的，

  $\therefore$放炮的方式共有$C_{j+2}^2$种，即$\frac{(j+1)\ast (j+2)}{2}$种，

  $\therefore$将$f_{i,j,k}$加上$\frac{(j+1)\ast (j+2)}{2}\ast f_{i-1,j+2,k-2}$。

• 第六种情况： 在没有放过炮的一列和放过一个炮的一列上各放一个炮。

  此时的状态应从状态$(i-1,j,k-1)$转移过来。

  $\because$在转移之前有$(m-j-k+1)$列是没有放过炮的，有$j$列是放过一个炮的，

  $\therefore$放炮的方式共有$(m-j-k+1)\ast j$种，

  $\therefore$将$f_{i,j,k}$加上$(m-j-k+1)\ast j\ast f_{i-1,j,k-1}$。

大致就是这$6$种情况了，不过取模之类的细节还是需要自己注意一下。

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代码

#include
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define uint unsigned int
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define INF 1e9
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
#define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1)) 
#define MOD 9999973
#define N 100
using namespace std;
int n,m; 
class FIO
{
    private:
        #define Fsize 100000
        #define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
        #define pc(ch) (FoutSize
        int f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
    public:
        FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
        inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
        inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
        inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
        inline void write(int x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
        inline void write_char(char x) {pc(x);}
        inline void write_string(string x) {register int i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
        inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
}F;
class Class_DP//DP
{
    private:
        int f[N+5][N+5][N+5];//用f[i][j][k]来表示当前处理到第i行，有j列有1个炮，k列有2个炮时的方案数
    public:
        inline int GetAns()
        {
            register int i,j,k,lim,ans=0;
            for(i=f[0][0][0]=1;i<=n;++i)//枚举行
            {
                for(j=lim=min(i<<1,m);~j;--j) for(k=lim-j;~k;--k)//枚举放过一个棋子和两个棋子的列数
                {
                    f[i][j][k]=f[i-1][j][k];//第一种情况
                    if(j>=1) Inc(f[i][j][k],1LL*f[i-1][j-1][k]*(m-j-k+1)%MOD);//第二种情况
                    if(j>=2) Inc(f[i][j][k],1LL*f[i-1][j-2][k]*((m-j-k+1)*(m-j-k+2)>>1)%MOD);//第三种情况
                    if(k>=1) Inc(f[i][j][k],1LL*f[i-1][j+1][k-1]*(j+1)%MOD);//第四种情况
                    if(k>=2) Inc(f[i][j][k],1LL*f[i-1][j+2][k-2]*((j+1)*(j+2)>>1)%MOD);//第五种情况
                    if(j>=1&&k>=1) Inc(f[i][j][k],1LL*f[i-1][j][k-1]*(m-j-k+1)%MOD*j%MOD);//第六种情况
                }
            }
            for(i=lim=min(n<<1,m);~i;--i) for(j=lim-i;~j;--j) Inc(ans,f[n][i][j]);//统计答案
            return ans;
        } 
}DP;
int main()
{
    F.read(n),F.read(m),F.write(DP.GetAns());
    return F.end(),0;
}