算法基础篇(7)------树状数组

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导语

树状数组顾名思义，是一个具有树结构的数组，其算法思路十分巧妙。树状数组能解决的问题集合基本上是线段树的子集，之所以后讲，是因为与线段树相比，树状数组的时空效率更高，代码实现也更简单且容易理解。那么，树状数组为什么具有这些优势？其算法又是如何实现的？

树状数组

树状数组可以在O(logN)时间效率下动态维护一个数列并查询其任意子序列的所有元素之和。之所以能稳定在O(logN)，是利用了二进制的计算特性。下面我将通过这个特性具体介绍该算法的实现思路。

几个二进制数0011、0101、0110、0111，每次通过将原数的非零最低位加1来更新原数，我们得到0011→0100→1000→10000，0101→0110→1000→10000，0110→1000→10000，0111→1000→10000这几个变化过程。是不是发现了什么规律？没错，这种运算总能把原数变为一个2的n次方。我们不妨把这4个二进制数作为数组序列对应的下标3、5、6、7，上述变换用数组形式作图如下：

上图中蓝色代表原数组，红色代表树状数组。红色单元从左至右的相连关系就是上面描述的“加1变换”（B1→B2→B4→B8，B3→B4→B8，B5→B6→B8，B7→B8）。有了这种结构，维护和查询任意子数列的和就很方便快捷了。只需要从头到尾遍历原数组，通过“加1变换”把每一个元素值累加到新数组相应的位置上，构造出树状数组，总的时间复杂度为O(NlogN)。这里假设原数列为[3，5，1，9，2，4，8，7]，相应的树状数组如下图所示：

上图中树状数组的各个红色节点值，都是通过“加1变换”累加原数列的值得到的结果，建议每个红色节点可以自己演算验证一下。

树状数组建好了，下面试试计算前7个数之和。我们通过“减1变换”来做，过程如下：0111→0110→0100→0000。树状数组对应下标的元素值为：8→6→18→0。可知前7个数和即为8 + 6 + 18 = 32，只需加2次。而且随着数列长度的增大，O(logN)的时间优势会变得更加明显。此外，当原数列中的某个值增加或减少d时，同样可以通过“加1变换”更新树状数组中相应的元素值，因此树状数组的维护成本仍然是O(logN)。

上面描述了树状数组的构建、查询和维护，这三部分都需要解决同一个关键问题，那就是“加/减1变换”。我们一般用lowbit表示一个二进制数的最低非零位，“加/减1变换”的计算公式：lowbit(x) = x and (x xor (x - 1))。利用补码特性，公式可以简化为：lowbit(x) = x and -x。

以上，便是树状数组。敬请期待下节内容 最小生成树。

结语

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