python 实现高斯消元法
步骤1 检查A，b是否行数相同
步骤2 构造增广矩阵Ab
步骤3 逐列转换Ab为化简行阶梯形矩阵 中文维基链接
对于Ab的每一列（最后一列除外）
当前列为列c
寻找列c中 对角线以及对角线以下所有元素（行 c~N）的绝对值的最大值
如果绝对值最大值为0
那么A为奇异矩阵，返回None (你可以在选做问题2.4中证明为什么这里A一定是奇异矩阵)
否则
使用第一个行变换，将绝对值最大值所在行交换到对角线元素所在行（行c）
使用第二个行变换，将列c的对角线元素缩放为1
多次使用第三个行变换，将列c的其他元素消为0
步骤4 返回Ab的最后一列
注： 我们并没有按照常规方法先把矩阵转化为行阶梯形矩阵，再转换为化简行阶梯形矩阵，而是一步到位。如果你熟悉常规方法的话，可以思考一下两者的等价性。
from decimal import Decimal
from fractions import Fraction
# TODO 实现 Gaussain Jordan 方法求解 Ax = b
""" Gaussian Jordan 方法求解 Ax = b.
参数
A: 方阵
b: 列向量
decPts: 四舍五入位数，默认为4
epsilon: 判读是否为0的阈值，默认 1.0e-16
返回列向量 x 使得 Ax = b
返回None，如果 A，b 高度不同
返回None，如果 A 为奇异矩阵
"""
def gj_Solve(A, b, decPts=4, epsilon = 1.0e-16):
if len(A)!= len(b) :
return None
# 构造扩增矩阵
result = augmentMatrix(A, b)
# 转换为阶梯型矩阵
for j in range(len(result[0])-1):
row,maxNum = 0,0
for i in range(len(result)):
if i >= j:
if abs(result[i][j]) > maxNum:
maxNum = abs(result[i][j])
row = i
# 返回奇异矩阵
if(abs(maxNum) < epsilon):
return None
else:
# 找出最大放到最上面
if(row != j):
swapRows(result,j,row)
row,maxNum = 0,0
scaleRow(result,j,Fraction(1,result[j][j]))
# 消除下面
for dis in range(len(result)):
if dis != j:
if abs(-result[dis][j]) > epsilon:
addScaledRow(result,dis,j,-result[dis][j])
newResult =[]
for i in range(len(result)):
row =[]
row.append(result[i][len(result)])
newResult.append(row)
return newResult测试
def test_gj_Solve(self):
for _ in range(9999):
r = np.random.randint(low=3,high=4)
A = np.random.randint(low=-10,high=10,size=(r,r))
b = np.arange(r).reshape((r,1))
x = gj_Solve(A.tolist(),b.tolist(),epsilon=1.0e-8)
if np.linalg.matrix_rank(A) < r:
self.assertEqual(x,None,"Matrix A is singular")
else:
self.assertNotEqual(x,None,"Matrix A is not singular")
self.assertEqual(np.array(x).shape,(r,1),"Expected shape({},1), but got shape{}".format(r,np.array(x).shape))
Ax = np.dot(A,np.array(x))
loss = np.mean((Ax - b)**2)
self.assertTrue(loss<0.1,"Bad result.")