LightOJ 1306 Solutions to an Equation 数论

题目链接

http://lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1306
https://cn.vjudge.net/problem/LightOJ-1306

---

题目大意

有形如 Ax+By+C=0 A x + B y + C = 0 的方程，给定 A A 、 B B 、 C C ，求 x x 、 y y 在 x1 x 1 到 x2 x 2 ， y1 y 1 到 y2 y 2 间的解数。
（所有数都为整数，数据范围 −108 − 10 8 到 108 10 8 ，最多 10000 10000 组数据）。

---

解题思路

首先，我们抛开 x x 、 y y 的范围限制，仅仅是求解，那么我们可以用扩展欧几里得算法来解决。下面详细介绍如何求出一组解。

拓展欧几里得求出一组特解

无解情况

若 gcd(A,B)∤C g c d ( A , B ) ∤ C ，那么无解。

证明

设在此情况下问题有解，解为 x x ， y y 。
设 gcd(A,B)=t g c d ( A , B ) = t ，那么 t|A t | A ， t|B t | B ，所以 t|Ax t | A x ， t|By t | B y ，所以 t|(Ax+By) t | ( A x + B y ) ，推出 t|C t | C ，而 gcd(A,B)∤C g c d ( A , B ) ∤ C ，矛盾
命题得证

有解情况下求出一组解

我们将 A A 、 B B 、 C C 都除以 gcd(A,B) g c d ( A , B ) 。由等式的性质可得，这样做不影响答案。现在 A A 、 B B 互质了。
我们不妨考虑 Ax+By=1 A x + B y = 1 的情况。
因为 gcd(A,B)=1 g c d ( A , B ) = 1 ，所以 gcd(B,AmodB)=1 g c d ( B , A mod B ) = 1 。（将 A A 分为 [AB]×B [ A B ] × B 和余数部分，用反证法易得。）
所以 Bx′+(AmodB)y′=1 B x ′ + ( A mod B ) y ′ = 1 同样有解。我们观察这两个式子的联系。

Bx′+(AmodB)y′=1 B x ′ + ( A mod B ) y ′ = 1

⇒Bx′+(A−[AB]×B)y′=1 ⇒ B x ′ + ( A − [ A B ] × B ) y ′ = 1

⇒Bx′+Ay′−[AB]×By′=1 ⇒ B x ′ + A y ′ − [ A B ] × B y ′ = 1

⇒Ay′+B(1−[AB])x′=1 ⇒ A y ′ + B ( 1 − [ A B ] ) x ′ = 1

就有

x=y′y=x′−[AB]x′ x = y ′ y = x ′ − [ A B ] x ′

那么我们不断迭代这一操作，直到 B=0 B = 0 ，那么此时 A=1 A = 1 （可由互质推出）。所以我们可取 x=1 x = 1 ， y=0 y = 0 ，再退回去，就得到了原式的一组解。

由一组特解求解数

我们记特解为 x0 x 0 ， y0 y 0 。那么通解就是

x=x0+Bgcd(A,B)ty=y0−Agcd(A,B)t(t∈Z) x = x 0 + B g c d ( A , B ) t y = y 0 − A g c d ( A , B ) t ( t ∈ Z )

由于 gcd(A,B)=1 g c d ( A , B ) = 1 ，所以

x=x0+Bty=y0−At(t∈Z) x = x 0 + B t y = y 0 − A t ( t ∈ Z )

那么我们要求的就是符合条件的 t t 的个数。不如将 x x ， y y 分开考虑，那么就是求两个可行区间的交。这一部分的细节极多，严格操作很难直接说清楚，大家不如直接看程序，里面有详细的注释和说明。

---

参考程序

#include 
#define LL long long
using namespace std;
LL A, B, C, x1, x2, y1, y2;
LL xl, xr, yl, yr;
void swap(LL & x, LL & y) {//交换两个数
    LL t = x; x = y; y = t;
    return;
}
LL gcd(LL x, LL y) {//求最小公约数
    LL m = x % y;
    while(m) { x = y; y = m; m = x % y; }
    return y;
}
void exgcd(LL A, LL B, LL & x, LL & y) {//求不定方程一组特解（Ax+By=1）
    if(B == 0) {
        if(A == 1) x = 1; else x = -1;
        y = 0; return;
    }
    exgcd(B, A % B, y, x);
    y -= A / B * x;
    return;
}
LL xxl, xxr, yyl, yyr;
void work2() {//特判0的情况
    if(A == 0 && B == 0) {
        if(C != 0) printf("0\n"); else printf("%lld\n", (x2 - x1 + 1) * (y2 - y1 + 1));
        return;
    }
    if(B == 0) {
        if(C % A != 0) {
            printf("0\n");
            return;
        }
        LL t = C / A;
        if(x1 <= t && t <= x2) printf("%lld\n", y2 - y1 + 1); else printf("0\n");
        return;
    }
    if(A == 0) {
        if(C % B != 0) {
            printf("0\n");
            return;
        }
        LL t = C / B;
        if(y1 <= t && t <= y2) printf("%lld\n", x2 - x1 + 1); else printf("0\n");
        return;
    }
}
void work() {
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld%lld", &A, &B, &C, &x1, &x2, &y1, &y2);
    C = -C;
    if(x1 > x2) swap(x1, x2);
    if(y1 > y2) swap(y1, y2);
    if(B == 0 || A == 0) {//特判0的情况
        work2();
        return;
    }
    LL t = gcd(A, B);
    if(t < 0) t = -t;
    if(C % t != 0) {
        printf("0\n");
        return;
    }
    A /= t; B /= t; C /= t;//使A，B，C互质
    LL x0, y0;
    exgcd(A, B, x0, y0);
    x0 *= C; y0 *= C;//求出一组特解x0，y0
    xxl = x1 - x0; xxr = x2 - x0;//求出x1,x2相对与x0的距离
    yyl = y1 - y0; yyr = y2 - y0;//同上
    xl = xxl / B; xr = xxr / B;//求出满足x关系式的大致的t的范围（左右边界可能有1的偏差）
    yl = yyl / (-A); yr = yyr / (-A);//同上
    if(xl * B < xxl) xl += (B > 0) ? 1 : -1;//调整左边界
    if(xr * B > xxr) xr -= (B > 0) ? 1 : -1;//调整右边界
    if(yl * (-A) < yyl) yl += ((-A) > 0) ? 1 : -1;//同上
    if(yr * (-A) > yyr) yr -= ((-A) > 0) ? 1 : -1;
    if(x0 + B * xl > x2 || x0 + B * xr < x1) { printf("0\n"); return; } //若不存在这样的t使得x处于x1,x2间
    if(y0 - A * yl > y2 || y0 - A * yr < y1) { printf("0\n"); return; } //同上
    if(xl > xr) swap(xl, xr);//再次判断原因说明：
//  由于我们除的系数有负，所以我们在这儿的"左"，并不代表坐标较小的那个。而是有关于B，-A的正负性。
//  这个在前面处理的时候千万别搞错，后面为了方便判断交集，所以规定正常意义下的大小
    if(yl > yr) swap(yl, yr);
//  分类讨论，确定交集
    if(xl < yl) { 
        if(xr < yl) { printf("0\n"); return; }
        if(yl <= xr && xr < yr) { printf("%lld\n", xr - yl + 1); return; }
        if(yr <= xr) { printf("%lld\n", yr - yl + 1); return; }
    }
    if(yl <= xl && xl <= yr) {
        if(xr < yr) { printf("%lld\n", xr - xl + 1); return; }
        if(yr <= xr) { printf("%lld\n", yr - xl + 1); return; }
    }
    if(xl > yr) { printf("0\n"); return; }
}
int main() {
    LL t;
    scanf("%lld", &t);
    for(LL i = 1; i <= t; i++) printf("Case %lld: ", i), work();
    return 0;
}