约数定理+线性筛素数

约数定理

已知，令d(x)表示x的因子(或者叫约数)个数则

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线性筛法打d(x)表：每个数都是被它最小的素因子筛掉的，那么用g[i]表示i的最小素因子的幂次，注意d(x)的表达式，它是部分积性函数d(p1^a1*p2^a2)=d(p1^a1)*d(p2^a2)

void init(){
    memset(vis,false,sizeof vis);
    d[1]=1, g[1]=1;//1的约数个数是1，1的最小素因子的幂次也记为1
    for(int i=2;i

特别指出，此处不同下面筛素数，遇到第一个素因子后跳出，换句话说，上面的模板中一个合数会访问很多次，而且每次都会对D,G进行刷新，而最后一次刷新i*pri[j]的就是最小pri[j]乘上一个最大的i，所以只需关注最后一次更新就可以

关于最后一次更新的最小pri[j]，首先i*pri[j]是i的倍数，所以i的因子一定是i*pri[j]的因子，则i*pri[j]最小的因子，也一定是i的最小因子，也就是说i的最小因子有g[i]个，而i*pri[j]的最小因子有g[i]+1个，因为他们有相同的最小因子

而且可以放心的就是在用数i去更新i*pri[j]时，i的d，g数组都肯定是已经更新完成的（如果是质数，在上面判质数时更新，如果是合数，也会在最后一次正确更新

举例：如12=2^2 * 3，第一次更新时是i=4时，扫到质数3此时3不是4的素因子，就是设D12为D4的两倍，G1=1，显然是不对的，但是在第二次更新时i=6，扫到质数2此时2是6的素因子，于是设D12=D6/(G6+1)*(G6+2)=4/2*3=6,G12=G6+1=1+1=2，正确。又如18=2 * 3^2同理，第一次更新时是i=6，扫到质数3不对，第二次i=9扫到质数2时就正确了

关于d其实很易理解，如果是新的质数，就会乘多一个Ak^Pk，此时Pk为1故乘2，而如果是合数，原来的d[i]这个积性函数值是有g[i]个pri[j]的，就是说含有pri[j]^(g[i]+1)这一项乘数，现在求i*pri[j]又多了

线性筛素数 

for(ll  i = 2 ; i < N ; i++){
if(! isNotPrime[i])prime[num_prime ++]=i;
for(ll  j = 0 ; j < num_prime && i * prime[j] <  N ; j ++){ 
isNotPrime[i * prime[j]] = 1;  //每个质数的i倍都是合数
if( !(i % prime[j] ) ) break;    //遇到i最小的素数因子就可以停止（下文解释）
//一句话证明：令I为X，prime[j]为Y，由i % prime[j]==0知X=KY
//KY*（Y+1）= K（Y+1）*Y，显然K(Y+1)>KY，(Y+1)>Y
//例子i = 8; 由于i%2 == 0;可以跳出，因为8*3=(4*2)*(2+1)= (4*(2+1))*(2)=12*2
//同理KY*（Y+2）= K（Y+2）*Y，显然K(Y+2)>KY，(Y+2)>Y，8*4=16*2
}
}   

思想证明：理解代码中 if(i%primes[j] == 0)break;的关键

当前数字i是素数，易知一个大的素数 i 乘以不大于 i 的素数，这样筛除的数跟之前的是不会重复的。筛出的数都是 N=p1*p2的形式, p1，p2之间不相等
    当前数字i是合数，则i=p1^a * p2^b * p3^c(p1

    从图上我们看到，第一列筛掉的是最小素因子是2的数，第二列筛掉的是最小素因子为3的数，依次类推，可以把所有的合数都筛掉，因为是按照最小素因子筛选，所以可以保证每个数都只会被筛一遍

         说得通俗点，数i跟素数p相乘，其中i被p整除，如果这个如果存在一个更小的素数q能整除i则原来的式子i*p，i可以分出一个q，然后剩余部分r乘上p，式子变为q*r，则qi，这就解释了为何i%primes[j] == 0就可以跳出

例如: 如果i = 8; 由于i%2 == 0; 因此对于i=8就只需检查primes[1]=2即可，因为对于大于primes[1]的质数，如3有8*3=2*4*3=12*2，也就是24(8*3=24)并不需要在8时检查，在12时才检查