「NOI题解报告」 NOI2010 能量采集

题目描述
见 洛谷P1447。

题解
观察样例，对于每一个(x, y)，如果 x/y 可以约分，那么(0, 0)到(x, y)的连线上必然有其他点，那么考虑，把它缩小多少倍可以使其最简？显然是gcd(x, y)（看似傻瓜的设问，实际是为了引起你的思考）。
那么便知道了，(0, 0)到(x, y)的线段上有gcd(x, y)个点（包括(x, y)）。

于是很快可以出一个暴力解法：

long long Solve()
{
    long long ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= m; ++j)
            ans += gcd(i, j);
    return ans * 2 - m * n;
}

注意，ans并不是最终答案，而是所有连线上的点的总数。初中数学不解释。

复杂度为 O(nm×O(gcd)) 。原谅我并不知道gcd的复杂度。
根据复杂度分析与本地测试，这样可以拿80分。

但是其实感官上看，nm那么大，应该用什么东西把它归纳起来。我一开始考虑用每一条直线，然而并没有成功，于是改用gcd。

设 f(i) 为gcd(x, y)为i的点的总个数，那么结果就是：
(2×∑min(n,m)i=1f(i)×i)−mn .
直接这么处理会中间值爆long long，所以答案要这样：
∑min(n,m)i=1(2(i−1)+1)×f(i)
=∑min(n,m)i=1(2i−1)×f(i)

至于算 f(i) ，可以先算出含公约数（暂不用最大） i 的点数：
⌊n/i⌋×⌊m/i⌋
然后减去所有 f(j)j<min(n),jmodi=0
正因为 j>i 所以需要从高到底计算 f(i) 。

复杂度:
O(min(n,m)logmin(n,m))
于是可以拿到满分。

完整源代码
与上文不同，这里的ans就是最终答案。

#include

using namespace std;

const int maxn = 100000 + 5;

typedef long long ll;

int n, m;
ll f[maxn] = {0};

ll Solve()
{
    ll ans = 0;
    for(int i = n; i > 0; --i) {
        f[i] = ((ll)n / i) * ((ll)m / i);
        for(int j = i << 1; j <= n; j += i) f[i] -= f[j];
        ans += ((i << 1) - 1) * f[i];
    }
    return ans;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    if(n > m) int t = n, n = m, m = t;
    cout << Solve() << endl;
    return 0;
}