曲线拟合与绘制

2017-07-27

  在学习图形学课程中，一个很重要的部分就是绘制曲线、曲面。其实，这部分需要的基础课程有“最优化”、“数值分析”，其实，想要完全弄清楚，还是有一定难度的。但是，曲线、曲面的绘制是分为两部分的，一部分是数学，一部分是绘制。
一，拟合
    简单来讲，问题的定义是：我们通常会获取到一些离散的点，二维的、三维的， 比如在CAD软件开发需求中，我们经常获取到的数据可能是手工测量的，可能是手绘的，可能是从文件中保存离散点，我们想要知道穿过这些点的曲线的函数，方便后续更加精密的加工。又或者我们已经有曲线方程。此后，我们需要把曲线绘制出来。

1.1，拟合简单函数
  当我们知道这些点表示的图形大概是什么曲线。比如说知道它是二次曲线，就想办法求出来 f(x) = ax² + bx +c ， 如果是三次曲线，就求出来方程 f(x) = ax³ + bx² + cx + d。对于更曲折的曲线，需要使用更高次的函数来拟合数据。
  scipy.optimize.curve_fit() 可以用来拟合线性、非线性方程，这个算法是利用 least squares实现的。至于least squares方法计算的时候，针对求解的问题，误差和参数还有不同的算法，如无约束问题采用“levenberg-marquardt方法”；如果提供了边界值，则采用Trust Region Reflective 算法。我们需要特别注意“最小二乘”，它的重要性是如此之高，是一定要掌握的。上面的例子及代码演示了我们知道函数是什么形式的，但是，有些时候，我们并不知道曲线的方程形式，或者曲线过于曲折。 样条曲线一般由多项式分段定义表示。在插值问题中，样条插值通常比多项式插值好用。多项式分段时，每一条曲线都用低阶的 多项式表示，我们可以用多段曲线连接成一条曲线。

1.2，拟合高次曲线
  我们一般不会愿意处理高次函数的，一者计算量大，二者计算误差大。 所以，我们会使用多段的低次曲线连接起来，来拟合复杂曲线。 spline 有很多种，我们常见的有Bezier Spline，B-Spline，NURBS，Hermitian Spline， Catmull-Rom Spline等等，算法都是不一样的。
  

  在矢量作图软件中，多段三次Bezier曲线用的较多，在CAD中，Bezier Spline有所不足，每改变一个控制点，就会改变曲线的整体样式。可谓牵一发而动全身。B-Spline，NURBS使用较多，工业上实际的标准是NURBS，像一些简单的场合，想我们团队在做的制衣CAD软件里，只用B-Spline就足够了。B-Spline分为均匀与非均匀的，当节点等距，称B样条为均匀(uniform)否则为非均匀(non-uniform)。但是NURBS并不是后面一个，它的全称是”非均匀有理B样条“。

  scipy.interpolate.UnivariateSpline() 的参数中，k，整型，可选值，默认为5，最高为5。为什么呢？由于龙格现象会导致数值不稳定，得出来的曲线，可能并不是我们想要的。UnivariateSpline 这个函数调用了 fitpack2模块的  splev(x, tck, der=0, ext=0) 函数，这里写着”Evaluate a B-spline or its derivatives“，所以，我们可以看到scipy lib中使用B-Spline来做曲线拟合的。对于n次 B-Spline来讲，它是有多条   至于NURBS，一般是用来拟合三维曲面的，更少用到，所以我们一般不谈。
  我们在wiki中会看到least squares问题都是以matrix表示和计算的，但是，我们要明白，矩阵的概念在1840年才提出来， least squares在 1800年左右提出，和矩阵没有必然的联系。

二，绘制
  一般需要绘制曲线的，都是CAD软件的开发工作，基本上用C/C++、OpenGL来实现。其实没有必要，这里就使用最常见的python就能够学习相关的算法了。python2.7之后pip变得越来越好了，常见lib都能够处理了。对于windows上的python lib，建议参考链接2，不用自己编译或者安装exe，可使用第三方已经做好的whl包。
  对于计算机而言，一切都是离散的。所以，所谓的无限连续的曲线，展示的时候，也是一段段的小的直线段连接起来的。主流的显示屏幕分辨率1920×1080，展现出来的曲线，也只是离散的点连接起来的而已。

 

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting
2. http://www.lfd.uci.edu/~gohlke/pythonlibs/#numpy   
3. https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.curve_fit.html
4. https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.interpolate.UnivariateSpline.html
5. https://en.wikipedia.org/wiki/Spline_(mathematics)
6. https://www.zhihu.com/question/29565629
7. https://en.wikipedia.org/wiki/B-spline
8. http://zh.numberempire.com/graphingcalculator.php

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