[BZOJ3142][Hnoi2013]数列（数学相关）

题目描述

传送门

题解

题意就是给出n,k,m,p，求有多少长度为k的序列A，满足：首项为正整数；递增数列；相邻两项的差小于等于m；最大值小于等于n
设a(i)=A(i+1)-A(i)，我们只考虑a(i)，显然a(i)所需要满足的条件就是 ai≤m
一个合法的a(i)序列对答案的贡献为
n−∑i=1k−1ai
合法的a(i)序列一共有 mk−1 个，那么
ans=∑a1=1m∑a2=1m...∑ak−1=1m(n−a1−a2−...−ak−1)
=n∗mk−1−∑a1=1m∑a2=1m...∑ak−1=1m∑i=1k−1ai
从这里可以看出，后面的一坨实际上就是1..m这些数每个数出现了 (k−1)∗mk−2 次，求它们的和
所以用一下等差数列的求和公式？ ans=n∗mk−1−m(m+1)2∗(k−1)∗mk−2

代码

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define LL long long

LL n,m,k,Mod,ans;

LL fast_pow(LL a,LL p)
{
    LL ans=1;
    for (;p;p>>=1,a=a*a%Mod)
        if (p&1)
            ans=ans*a%Mod;
    return ans;
}
void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if (!b) x=1LL,y=0LL;
    else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
LL inv(LL a,LL b)
{
    LL x=0LL,y=0LL;
    exgcd(a,b,x,y);
    x=(x%b+b)%b;
    return x;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&m,&Mod);
    if (k==1) {printf("%lld\n",n);return 0;}
    ans=n%Mod*fast_pow(m%Mod,k-1)%Mod-m*(m+1)%Mod*inv(2,Mod)%Mod*fast_pow(m%Mod,k-2)%Mod*(k-1)%Mod;
    ans=(ans%Mod+Mod)%Mod;
    printf("%lld\n",ans);
}