bzoj 4842: [Neerc2016]Delight for a Cat （费用流）

题目描述

传送门

题解

感觉这道题提供了一个不错的构图思路。本质上应该是一个有上下界的最小费用最大流，但是我们可以通过一些边的限制，直接跑最小费用最大流使其达到有上下界的效果。
假设刚开始所有的时间都在睡觉，那么题目的要求就是选出一些点，使每个区间中选中的点的个数在 [mine,maxe] 范围内。
进行一下转化，第i个点会影响区间[i,i+k-1]，所以如果选中一个点实际上是对[i,i+k-1]进行区间覆盖，然后每个点就表示[i,i-k+1]中选中了多少个点，即覆盖次数在 [mine,maxe]
先说一些怎么建图,再解释。
源点SS，汇点TT。虚点S,没有实际意义，用来补流。
SS->S 容量为 maxe ,费用为0
S->[1,k] 容量为INF，费用为0
i->i+1 如果i+1>n，那么i->TT ,容量为 [0,maxe−mine] ，费用为0
i->i+k 如果i+k>n，那么i->TT，容量为1，费用为 −(bi−ai)
然后跑最小费用最大流得到ans，答案就是 ∑ni=1ai−ans
为什么这个建图，首先这个图一定会满流，因为如果走中间的长链最多可以走 maxe−mine ，如果SS->S的边权足够大，那么一定有方式再走出k条路径，因为 k>mine ,所以这个图一定会满流。
那么对于i->i+1的一个切面，所有跨越i的i->i+k（实际上就是选中的区间）+i->i+1流过的容量一定等于 maxe ,要不不可能满流。
那么我们把i->i+1的流量上界限制成 maxe−mine ，就可以保证选中的覆盖这个点的区间在 [mine,maxe] 范围内。所以这么做可行。

代码

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define N 100003
#define inf 2000000000
#define LL long long 
using namespace std;
const LL INF=1e17;
int tot,nxt[N],point[N],v[N],remain[N],can[N],last[N],n,k,t1,t2,a[N],b[N];
LL cost[N],dis[N],ans;
void add(int x,int y,int z,LL k)
{
    tot++; nxt[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y; remain[tot]=z; cost[tot]=k;
    tot++; nxt[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x; remain[tot]=0; cost[tot]=-k;
}
int addflow(int s,int t)
{
    int ans=inf; int now=t;
    while (now!=s) {
        ans=min(ans,remain[last[now]]);
        now=v[last[now]^1];
    }
    now=t;
    while (now!=s) {
        remain[last[now]]-=ans;
        remain[last[now]^1]+=ans;
        now=v[last[now]^1];
    }
    return ans;
}
bool spfa(int s,int t)
{
    for (int i=1;i<=t;i++) dis[i]=INF,can[i]=0;;
    dis[s]=0; can[s]=1;
    queue<int> p; p.push(s);
    while (!p.empty()) {
        int now=p.front(); p.pop();
        can[now]=0;
        for (int i=point[now];i!=-1;i=nxt[i])
         if (remain[i]&&dis[v[i]]>dis[now]+cost[i]){
            dis[v[i]]=dis[now]+cost[i];
            last[v[i]]=i;
            if (!can[v[i]]) {
                can[v[i]]=1;
                p.push(v[i]);
             }
         }
    }
    if (dis[t]==INF) return false;
    int flow=addflow(s,t);
    ans+=dis[t];
    return true;
}
int main()
{
    freopen("cat.in","r",stdin);
    freopen("my.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&t1,&t2);
    LL sum=0;
    tot=-1;
    memset(point,-1,sizeof(point));
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),sum+=(LL)a[i];
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);
    int mn=t2; int mx=k-t1;
    int S=n+1;  int SS=S+1; int TT=SS+1;
    for (int i=1;i<=n;i++) add(i,i+k>n?TT:i+k,1,-(b[i]-a[i]));
    for (int i=1;i<=n;i++) add(i,i+1>n?TT:i+1,mx-mn,0);
    for (int i=1;i<=k;i++) add(S,i,inf,0);
    add(SS,S,mx,0);
    while (spfa(SS,TT));
    printf("%lld\n",sum-ans);
    for (int i=1;i<=2*n-1;i+=2)
     if (remain[i]) printf("E");
     else printf("S");
    printf("\n");
}