CodeForces-696C Please（数学题，快速幂取模，乘法逆元）

题目链接戳这个：http://codeforces.com/problemset/problem/696/C
题目大意：
Barney闲的蛋疼在玩游戏，他把三个杯子放在桌子上，其中中间那个杯子有个钥匙。Barney从两边的杯子中等概率随机选取一个，跟中间的那个杯子交换，称为一轮操作。问经过n轮操作后，中间的杯子里有钥匙的概率多大？

因为n可能非常大，所以输入一个数组 a1,a2,...an ,其中n为这个数组的乘积。
输出为x/y,其中x，y互质且是对 109+7 取模后的值。

题目分析：
高中数学大家都没忘吧，设 Pn 是n轮操作后中间杯子有钥匙的概率，则第n-1轮的时候，中间杯子里必须没钥匙，且有1/2的概率选到边上那个有钥匙的杯子。故： Pn=(1−Pn−1)/2 .由 P0=1,P1=1 得， Pn=x/y ,其中 x=2n−(−1)n3,y=2n−1 .
（顺便我在OEIS里面查了，x那个数列叫做Jacobsthal sequence，在组合数学里面是个重要序列。）
Jacobsthal sequence有一个性质，那就是它们都是奇数（很容易证明，因为Jacobsthal序列还有一种递推表示方法是 Jn=Jn−1+2Jn−2 ,偶数加奇数必为奇数。），而y的因子只有2，故x与y互质没问题。接下来就是解决取模的事情了。
我们可以随着输入（因为题目出的很巧妙，n是数组连乘而不是连加，不然应该是用快速乘法取模）用快速幂取模算法求出 2n mod 109+7 ，那么x可以通过加1或者减1再乘以3的乘法逆元求得，y可以通过乘以2的乘法逆元求得。
离线算出2关于1e9+7的逆元为500000004，3关于1e9+7的逆元为333333336。

AC代码：

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int M=1e9+7;
ll qpow(ll a,ll b){
    ll res = 1;
    while(b){
        if(b&1) res = res * a %M;
        a = a * a % M;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
int main() {
  int n;
  scanf("%d", &n);
  ll num,t=2,flag=-1;
  while(n--) {
    scanf("%I64d", &num);
    t=qpow(t,num);
    if(num%2==0) //有一个是偶数，则最后乘起来的n就是偶数
      flag=1;
  }
  ll y=t*500000004%M;
  ll x=(333333336*(y+flag))%M;

  printf("%I64d/%I64d\n",x,y);
}

补充：
快速幂取模的模板就是本题的qpow(ll a,ll b)函数，可以求出 ab mod M 的值。
乘法逆元的概念：
我们都知道，加法，减法，乘法都对取模运算满足分配率，唯独除法不可以。即：
(a+b)%M=a%M+b%M(a−b)%M=a%M−b%Mab % M=a%M∗b%Ma/b % M≠ a%M/b%M
那么如何处理 a/b % M 呢？我们可以寻找一个n，使得 nb≡1(mod M) ，那么就可以把除以b换成乘以n，这个n就称为b关于模M的乘法逆元。寻找这个n就是一个求二元不定方程解的问题，故使用扩展欧几里得算法。这个算法的模板如下：

#include 
const int N=1000000007;
int egcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b) {
        x=1;y=0;return a;
    }
    int ans=egcd(b,a%b,x,y);
    int temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return ans;
}
int cal(int a,int m=N)
{
    int x,y;
    int gcd=egcd(a,m,x,y);
    if(1%gcd!=0)
        return -1;
    x*=1/gcd;
    m=abs(m);
    int ans=x%m;
    if(ans<=0)
        ans+=m;
    return ans;
}

int main() {
  int n;
  scanf("%d",&n);
  printf("%d关于%d的乘法逆元是%d.\n", n,N,cal(n));
}

其中函数cal(int x,int y=M)就是计算x关于y（默认为M=1e9+7）的乘法逆元。