联络

这是本人学习微分流形的笔记，疏漏之处，在所难免

联络

直观上讲，联络就是使得在流形上进行”微分”的手段.

欧氏空间中方向导数.

设 v v 是 p∈Rn p ∈ R n 处的一个向量. f f 是 p p 点邻域内的一个可微函数, 则方向导数 Dvf D v f 为:

Dvf=limt→0f(p+tv)−f(p)tv D v f = l i m t → 0 f ( p + t v ) − f ( p ) t v

设 X X 是 p p 点邻域内的一个向量场, 则 X X 可分解为 n n 个 C∞ C ∞ 函数

X=∑i=1nXi∂∂xi X = ∑ i = 1 n X i ∂ ∂ x i

向量场 X X 沿 v v 的方向导数定义为

DvX=(DvX1,⋯,DvXn) D v X = ( D v X 1 , ⋯ , D v X n )

即

DvX=∑i=1nDvXi∂∂xi D v X = ∑ i = 1 n D v X i ∂ ∂ x i

如果 V V 是 p p 的邻域中一个向量场，使得 V(p)=v V ( p ) = v ,定义一个向量场 DvX D v X

(DVX)(p)=DvX ( D V X ) ( p ) = D v X

满足以下属性
-(1) DfV+gWX=fDVX+gDWX D f V + g W X = f D V X + g D W X
-(2) DV(fX)=(DVf)X+fDV(X) D V ( f X ) = ( D V f ) X + f D V ( X )
-(3) DV(X+Y)=DV(X)+DV(Y) D V ( X + Y ) = D V ( X ) + D V ( Y )
其中 V,W,X,Y V , W , X , Y 是 Rn R n 中向量场， f,g f , g 是 Rn R n 　上函数

Rm R m 及其子流形上的联络

[4] 135
设 (xi,⋯,xm) ( x i , ⋯ , x m ) 是欧氏空间 Rm R m 中点的笛卡尔坐标。 自然标架 ∂∂xi ∂ ∂ x i 构成 Rm R m 中整体定义的基向量场， Rm R m 中向量场 Y Y 可表示为

Y(x)=Yi(x)∂∂xi Y ( x ) = Y i ( x ) ∂ ∂ x i

设 X(x)=Xi(x)∂∂xi X ( x ) = X i ( x ) ∂ ∂ x i 是 Rm R m 中任一向量场，对于任一点 p∈Rm p ∈ R m , Xp=X(p)=Xi(p)∂∂xi X p = X ( p ) = X i ( p ) ∂ ∂ x i ,向量场　 Y Y 在　 p p 点沿向量 Xp X p 的方向导数

DXpY=(XpYi)∂∂xi=(Xi(x)∂Yi∂xi)∂∂xi D X p Y = ( X p Y i ) ∂ ∂ x i = ( X i ( x ) ∂ Y i ∂ x i ) ∂ ∂ x i

C∞ C ∞ 流形 M M 上一个联络就是 对每一对 C∞ C ∞ 向量场 V,X V , X ，指定一个新 C∞ C ∞ 向量场 DvX D v X ，使它具有上述３条属性.

给定一个联络后，向量场 DvX D v X 可以看作 X X 沿 V V 的协变导数
在任意局部坐标邻域内，总可以把欧氏空间的方向导数当作局部联络

在流形 M M 上给定的黎曼度量 g g ，存在 M M 上唯一的联络 D D ,对 M M 上任意向量场 X,Y,Z X , Y , Z 满足
- X<Y,Z>=<DXY,Z>+<Y,DXZ> X < Y , Z >=< D X Y , Z > + < Y , D X Z >
- DXY−DYX−[X,Y]=0 D X Y − D Y X − [ X , Y ] = 0
称为度量 g g 的Levi-Civita 联络

协变微分

[2]在流形 M M 上给定联络后，可以比较张量场 K∈TpM K ∈ T p M 在 p p 点邻域的改变，可以分析张量场对底流形坐标进行微分运算，即计算 ΔkΔx Δ k Δ x ，所得结果仍为张量场，与所选局域坐标系及局域标架场无关。

Δ:TsM→Ts+1M Δ : T s M → T s + 1 M

K→∇K=δKδxidxi K → ∇ K = δ K δ x i d x i

∇K∈Ts+1M ∇ K ∈ T s + 1 M 是张量场 K∈TsM K ∈ T s M 绝对协变微分，简称协变微分. 它是流形张量从截面间映射，决定流形的局域线性结构。

纤维丛上联络

[2]p408

“从微分几何观点看，场就是纤维丛的截面，纤维丛的截面是流形上函数的推广。”欲对纤维丛上截面微分，必须通过联络定义各纤维与邻近纤维之间的关系。含有联络的协变导数是将纤维丛截面映射到邻近纤维丛截面上的微分算子。

在流形 M M 上给定曲线 x(τ) x ( τ ) ,此曲线每一点有沿着曲线的切向量

X=ddτ=dxidτ∂∂τ X = d d τ = d x i d τ ∂ ∂ τ

如果流形 M M 上存在切向量场 Y=ηi∂∂xi Y = η i ∂ ∂ x i ，在曲线 x(τ) x ( τ ) 上

∇XY=dxidτ(∂ηk∂xi+Γkijηj)∂∂xi=0 ∇ X Y = d x i d τ ( ∂ η k ∂ x i + Γ i j k η j ) ∂ ∂ x i = 0

dηkdτ+Γkijηjdxidτ=0 d η k d τ + Γ i j k η j d x i d τ = 0

则称 Y Y 在曲线 x(τ) x ( τ ) 上平行输运。联络定义了任意切场 Y Y 沿着某一方向 X X 的平行输运。

切场 Y Y 为切从截面，将向量场 Y Y 限制在流形 M M 中曲线 x(τ) x ( τ ) 上，即通过曲线 x(τ) x ( τ ) 上个纤维 Fx F x 与截面 Y Y 的交，
得到了曲线 x(τ) x ( τ ) 的提升，若此提升满足上式，则称为曲线的水平提升。

给定联络就是给定曲线的水平提升。

测地线

平行输运自己切矢量的曲线称为测地线

∇XX=0 ∇ X X = 0

取 ηk−dxkdt η k − d x k d t ，测地线方程为

d2xkdt2+Γkijdxidτdxkdt=0 d 2 x k d t 2 + Γ i j k d x i d τ d x k d t = 0

[5]p241 曲面 S S 上测地曲率恒等于零的曲线称为曲面 S S 上的测地线. 平面上的测地线就是直线，因此曲面上测地线是平面上直线概念的推广. 曲面 S S 上的测地线.要么是直线，要么它的主法向量处处是曲面 S S 的法向量。

设正则参数曲面 S S 的方程为 r=r(u1,u2) r = r ( u 1 , u 2 ) , C C 是曲面 S S 上的一条曲线。 C C 的参数方程可写为

r=r(s)=r(u1(s),u2(s)) r = r ( s ) = r ( u 1 ( s ) , u 2 ( s ) )

其中 s s 是曲线 C C 的弧长参数。
在曲线 C C 上建立一个正交标架场 {r;e1,e2,e3} { r ; e 1 , e 2 , e 3 }

e1=dr(s)ds=α(s) e 1 = d r ( s ) d s = α ( s )

e3=ns e 3 = n s

e2=e3×e1=ns×α(s) e 2 = e 3 × e 1 = n s × α ( s )

曲线 C C 上正交标架场 {r;e1,e2,e3} { r ; e 1 , e 2 , e 3 } 的运动公式

dr(s)ds=e1 d r ( s ) d s = e 1

de1(s)ds=κge2+κne3 d e 1 ( s ) d s = κ g e 2 + κ n e 3

de2(s)ds=−κge1+τge3 d e 2 ( s ) d s = − κ g e 1 + τ g e 3

de3(s)ds=κne1+τge2 d e 3 ( s ) d s = κ n e 1 + τ g e 2

κg=de1(s)ds⋅e2=r′′(s)⋅(ns×α(s))=r′′(s)⋅(ns×r′(s)) κ g = d e 1 ( s ) d s ⋅ e 2 = r ″ ( s ) ⋅ ( n s × α ( s ) ) = r ″ ( s ) ⋅ ( n s × r ′ ( s ) )

κg κ g 称为 曲面 S S 上曲线 C C 的测地曲率。

测地曲率的几何解释:
设曲面 S S 上正则曲线 C C 通过点 P P ，将曲线 C C 投影到曲面 S S 在点 P P 的切平面上，该投影曲线在点 P P 的相对曲率就是曲线 C C 的测地曲率。

流形 M M 上的黎曼度量

流形 M M 上的每一个切向量空间 Mx M x ，指定 Mx M x 中的一个向量内积 gx(,) g x ( , ) .
对于任意一个局部坐标系 (x1,⋯,xn) ( x 1 , ⋯ , x n ) , 令

gij(x)=gx(∂∂xi,∂∂xj) g i j ( x ) = g x ( ∂ ∂ x i , ∂ ∂ x j )

Reference

[1] 伍鸿熙, 沈纯理, 虞言林. 黎曼几何初步. 高等教育出版社.
[2] 候伯元, 候伯宇. 物理学家用微分几何. 科学出版社.
[3] http://blog.sciencenet.cn/blog-2472277-978252.html
[4] 白正国.　黎曼几何初步
[5] 陈维桓. 微分几何. [北京] 北京大学出版社, 2006.
http://www.toutiao.com/a6285808339251216641/
http://www.toutiao.com/a6291681042059936002/