数论之整数相关

近期计划学习区块链，鉴于底层原理基础，主要从两个方向学起，一方面学习区块链相关原理及技术，另一方面从底层支撑开始，学习密码学等底层知识，其中数论作为密码学基础，因此从初等数论着手。

首先那，数论是数学的一个分支，他主要研究的内容是正整数集合，特别重要的是素数。按照研究方法看，分初等数论和高等数论，初等数论研究本质是利用整数环的整除性质，包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。

数学嘛，是需要做一些题进行练习，本帖主要为整理思路和知识点，方便后期持续学习。目前主要基于《初等数论及其应用》第5版([美]Kenneth H.Rosen )。后期不断补充完善。好了，没有时间了，快上车。

良序性质（The Well-Ordering Property）：每个非空的正整数集合都有一个最小元。良序性质作为定义正整数集合的公理。

定义：if ∃p和q,且q≠0，（p、q∈Z），s.t r=p/q，则称实数r是有理数，如果r不是有理数则r是无理数。

定理：2^(1/2)是无理数。可用反证法证明

定义：如果α是整系数多项式的根，则α称为代数数，即∃整数a0，a1,...,an，s.t a0+a1α^1+a2α^2+...+anα^n=0，if α不是代数数，则α为超越数。2^(1/2)是代数数，是x^2-2=0的根。e和π是超越数。

最大整数函数：实数x的最大整数（greatest integer）记为[x]，是小于或者等于x的最大整数，即[x]满足，[x] ≤x<[x]+1的整数。

分数部分：实数x的分数部分（fractional part）记为{x}，是x与[x]的差，即{x}=x-[x],因为[x] ≤x<[x]+1，则0≤{x}<1,同样x={x}+[x],因此x的最大取整也叫作x的整数部分。

定理：（鸽笼原理）if把k+1 或者更多的物体放入k个盒子中，那么至少有一个盒子中有两个或者更多的物体。

定理：（狄利克雷逼近定理）if α是一个实数，n是一个正整数，则存在整数a和b，1≤a≤n, s.t |aα-b|<1/n。一个实数的前n个倍数之一必定在某个整数的1/n邻域内。

• 等比数列：通项式 前n项和
• 等差数列：通项公式    前n项和

可数集（Countable set）：是每个元素能与自然数集N的每个元素之间能建立一一对应的集合。如果将可数集的每个元素标上与它对应的那个自然数记号，那么可数集的元素就可以按自然数的顺序排成一个无穷序列a1，a2，a3，…an，…。

定理：有理数集合是可数的。

乌拉姆数列是由乌拉姆在1964年提出的。数列的首两项U1和U2定义为1和2，对于n>2，Un为最小而又能刚好以一种方法表达成之前其中两个相异项的和。例如3=1+2，故U3=3；4=1+3（注意2+2不计算在内），故U4=4；5=2+3=1+4，所以它不在数列内。首几项是1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99...