Task2 GBDT算法梳理

【Task2 GBDT算法梳理】

一、简介：

GBDT有很多简称，有GBT（Gradient Boosting Tree）, GTB（Gradient Tree Boosting ）， GBRT（Gradient Boosting Regression Tree）, MART(Multiple Additive Regression Tree)，其实都是指的同一种算法，本文统一简称GBDT。

GBDT也是集成学习Boosting家族的成员，但是却和传统的Adaboost有很大的不同。回顾下Adaboost，我们是利用前一轮迭代弱学习器的误差率来更新训练集的权重，这样一轮轮的迭代下去。GBDT也是迭代，使用了前向分布算法，但是弱学习器限定了只能使用CART回归树模型，同时迭代思路和Adaboost也有所不同。

在GBDT的迭代中，假设我们前一轮迭代得到的强学习器是, 损失函数是, 我们本轮迭代的目标是找到一个CART回归树模型的弱学习器，让本轮的损失函数最小。也就是说，本轮迭代找到决策树，要让样本的损失尽量变得更小。

 

 

• 前向分布算法

在Adaboost算法中，我们的最终目的是通过构建弱分类器的线性组合：

来得到最终分类器。

而我们在看看加法模型：

            

其中，为基函数，是基函数的参数，为基函数的系数。

显然式8.6是一个加法模型。

对于加法模型，在给定训练数据及损失函数L(y, f(x))的条件下，学习加法模型f(x)就成为经验风险极小化损失函数极小化问题：

但这是一个复杂的优化问题。

前向分布算法(forward stagewise algorithm)求解这一优化问题的想法是：

因为学习的是加法模型，那如果能够从前向后，每一步只学习一个基函数及其系数，然后逐步逼近优化目标式8.14，那么就可以简化优化的复杂度。

具体的，每步只需优化如下损失函数：

于是，前向分布算法总结如下：

输入：

训练数据集T ={(x1,y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}；损失函数L(y, f(x))；基函数集{b(x; r)}；

输出：

加法模型f(x)

解：

1，初始化f0(x)= 0

2，对m = 1, 2,.., M

a，极小化损失函数

得到参数βm, rm

b，更新

 

3，得到加法模型

这样，前向分布算法将同时求解从m=1到M的所有参数βm, 的优化问题简化为逐次求解各个βm, 的优化问题。

 

• 负梯度拟合

针对这个问题，大牛Freidman提出了用损失函数的负梯度来拟合本轮损失的近似值，进而拟合一个CART回归树。

第t轮的第i个样本的损失函数的负梯度表示为

利用，我们可以拟合一颗CART回归树，得到了第t颗回归树，其对应的叶节点区域。其中J为叶子节点的个数。

针对每一个叶子节点里的样本，我们求出使损失函数最小，也就是拟合叶子节点最好的的输出值如下：

  

　　这样我们就得到了本轮的决策树拟合函数如下：

  

　　从而本轮最终得到的强学习器的表达式如下：

通过损失函数的负梯度来拟合，我们找到了一种通用的拟合损失误差的办法，这样无轮是分类问题还是回归问题，我们通过其损失函数的负梯度的拟合，就可以用GBDT来解决我们的分类/回归问题。区别仅仅在于损失函数不同导致的负梯度不同而已。

 

四、损失函数

对于分类算法，其损失函数一般有对数损失函数和指数损失函数两种:

a) 如果是指数损失函数，则损失函数表达式为

其负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合参见Adaboost原理篇。

b) 如果是对数损失函数，分为二元分类和多元分类两种，参见4.1节和4.2节。

对于回归算法，常用损失函数有如下4种:

a)均方差，这个是最常见的回归损失函数了

b)绝对损失，这个损失函数也很常见

　　对应负梯度误差为：

c)Huber损失，它是均方差和绝对损失的折衷产物，对于远离中心的异常点，采用绝对损失，而中心附近的点采用均方差。这个界限一般用分位数点度量。损失函数如下：

对应的负梯度误差为：

d) 分位数损失。它对应的是分位数回归的损失函数，表达式为

    

其中θ为分位数，需要我们在回归前指定。对应的负梯度误差为：

　　对于Huber损失和分位数损失，主要用于健壮回归，也就是减少异常点对损失函数的影响。

 

五、回归

输入是训练集样本， 最大迭代次数T, 损失函数L。

输出是强学习器f(x)

1) 初始化弱学习器

2) 对迭代轮数t=1,2,...T有：

a)对样本i=1,2，...m，计算负梯度

       b)利用, 拟合一颗CART回归树,得到第t颗回归树，其对应的叶子节点区域为。其中J为回归树t的叶子节点的个数。

c) 对叶子区域j =1,2,..J,计算最佳拟合值

d) 更新强学习器

3) 得到强学习器f(x)的表达式

六、二分类，多分类

这里我们再看看GBDT分类算法，GBDT的分类算法从思想上和GBDT的回归算法没有区别，但是由于样本输出不是连续的值，而是离散的类别，导致我们无法直接从输出类别去拟合类别输出的误差。

为了解决这个问题，主要有两个方法，一个是用指数损失函数，此时GBDT退化为Adaboost算法。另一种方法是用类似于逻辑回归的对数似然损失函数的方法。也就是说，我们用的是类别的预测概率值和真实概率值的差来拟合损失。

本文仅讨论用对数似然损失函数的GBDT分类。而对于对数似然损失函数，我们又有二元分类和多元分类的区别。

6.1 二元GBDT分类算法

对于二元GBDT，如果用类似于逻辑回归的对数似然损失函数，则损失函数为：

其中。则此时的负梯度误差为

对于生成的决策树，我们各个叶子节点的最佳负梯度拟合值为

由于上式比较难优化，我们一般使用近似值代替

除了负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合的线性搜索，二元GBDT分类和GBDT回归算法过程相同。

 

4.2 多元GBDT分类算法

多元GBDT要比二元GBDT复杂一些，对应的是多元逻辑回归和二元逻辑回归的复杂度差别。假设类别数为K，则此时我们的对数似然损失函数为：

其中如果样本输出类别为k，则。第k类的概率的表达式为：

集合上两式，我们可以计算出第tt轮的第ii个样本对应类别ll的负梯度误差为

观察上式可以看出，其实这里的误差就是样本i对应类别l的真实概率和t−1轮预测概率的差值。

对于生成的决策树，我们各个叶子节点的最佳负梯度拟合值为

由于上式比较难优化，我们一般使用近似值代替

除了负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合的线性搜索，多元GBDT分类和二元GBDT分类以及GBDT回归算法过程相同。

 

七、正则化

　　和Adaboost一样，我们也需要对GBDT进行正则化，防止过拟合。GBDT的正则化主要有三种方式。

第一种是和Adaboost类似的正则化项，即步长(learning rate)。定义为ν,对于前面的弱学习器的迭代

　　如果我们加上了正则化项，则有

ν的取值范围为0<ν≤1。对于同样的训练集学习效果，较小的ν意味着我们需要更多的弱学习器的迭代次数。通常我们用步长和迭代最大次数一起来决定算法的拟合效果。

第二种正则化的方式是通过子采样比例（subsample）。取值为(0,1]。注意这里的子采样和随机森林不一样，随机森林使用的是放回抽样，而这里是不放回抽样。如果取值为1，则全部样本都使用，等于没有使用子采样。如果取值小于1，则只有一部分样本会去做GBDT的决策树拟合。选择小于1的比例可以减少方差，即防止过拟合，但是会增加样本拟合的偏差，因此取值不能太低。推荐在[0.5, 0.8]之间。

使用了子采样的GBDT有时也称作随机梯度提升树(Stochastic Gradient Boosting Tree, SGBT)。由于使用了子采样，程序可以通过采样分发到不同的任务去做boosting的迭代过程，最后形成新树，从而减少弱学习器难以并行学习的弱点。

第三种是对于弱学习器即CART回归树进行正则化剪枝。在决策树原理篇里我们已经讲过，这里就不重复了。

 

• 优缺点

8.1、优点：

1) 可以灵活处理各种类型的数据，包括连续值和离散值。

2) 在相对少的调参时间情况下，预测的准确率也可以比较高。这个是相对SVM来说的。

3）使用一些健壮的损失函数，对异常值的鲁棒性非常强。比如 Huber损失函数和Quantile损失函数。

8.2、GBDT的主要缺点：

1)由于弱学习器之间存在依赖关系，难以并行训练数据。不过可以通过自采样的SGBT来达到部分并行。

 

• sklearn参数

官方文档：

http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.ensemble.GradientBoostingClassifier.html

 

十、应用场景

可以用于分类以及回归的问题。

 

十一、相关链接：

https://www.cnblogs.com/pinard/p/6140514.html