如何解决难题？从计算两个日期之间的天数到A*算法实现

两个多月前我参加了Udacity的无人驾驶入门课程，里面有一个专题是关于如何解决难题的，在这里希望总结一下自己的收获和体会。文章的主要内容如下：

• 启发问题：如何计算两个日期之间的天数？
• 解决问题的思路
• 程序实现的过程
• 如何借助已有的成熟思路？
• 用python实现A*寻路算法
• 这次解决问题的思路是什么？
• 收获和体会

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启发问题：如何计算两个日期之间的天数？

给定两个日期date_a和date_b（默认规定date_a是在时间上早于或者等于date_b，也没有时间穿越之类的特殊情况 :-P），请计算这两个日期之间的天数。

面对一个问题，第一步应该做的肯定是分析问题。如果理解上就出现了偏差，那么求解的过程一定是曲折的，而且基本上无法得到期望中的输出。

对于上述这个问题，我们可以得知：
输入：两个任意的日期，第一个日期应该要早于第二个日期（但是为了程序的严谨性，仍需要判断一下）；
输出：一个表示天数的正整数。
要点：闰年和非闰年的一年总天数不同，因为对应的二月份其天数分别为29和28.

解决问题的思路

如果是由你用笔算来解决这个问题，你的计算过程是怎么样的呢？
这是一个很好的切入点，因为我们可以借鉴自己的计算过程，看是否能够把这个计算过程转变成程序写出来。比如说给定的两个日期分别是20151125和20170509，我们可能想到的是：

总天数 = 20151125到20151231的天数 + 20160101到20161231的天数 + 20170101到20170509的天数

又或者是：

总天数 = 20150101到20170509的天数 - 20150101到20151125的天数

计算过程中都需要判断哪一年是闰年，这个闰年的二月份是否包含在需要计算的日期里面，如果是按照这样类似的“人类思维”来编写程序，一定是能够实现的，但这对于计算机而言，是否是最优解呢？
我们都知道计算机最擅长的事情就是循环简单的动作，那么针对这个问题，我们是否可以让计算机从20151125开始，一天一天地数到20170509呢？

OK，我们来试一下。

程序实现的过程

1. 所需的函数

days_between_dates() : 计算两个日期之间的天数，返回一个正整数；
date_is_before() : 判断某一个日期是否在另一个日期之前，除了检验输入的两个日期的前后关系以后，还可以用于判断是否已经数到了第二个日期（此时需要结束数数的循环）；
next_day() : 返回下一个日期；
is_leap_year() : 判断某一年是否是闰年
days_in_month() : 返回某一个月的天数；

2. 简化问题（关键所在）

从整体出发，一开始并不需要考虑哪一年是闰年，哪个月多少天，我们可以简化为假设每个月都是30天（令函数days_in_month()直接return 30），如果计算结果正确，那么再往下走，完善days_in_month()函数返回具体每个月多少天就可以得到一个完整的解决方案了。

3. 完整代码如下

def is_leap_year(year):
    if year % 4 == 0:
        return True
    else:
        return False

def days_in_month(year, month):
    leap_year = {1:31, 2:29, 3:31, 4:30, 5:31, 6:30, 7:31, 8:31, 9:30, 10:31, 11:30, 12:31}
    not_leap_year = {1:31, 2:28, 3:31, 4:30, 5:31, 6:30, 7:31, 8:31, 9:30, 10:31, 11:30, 12:31}
    days = 0
    if is_leap_year(year):
        days = leap_year[month]
    else:
        days = not_leap_year[month]
    return days

def date_is_before(year1, month1, day1, year2, month2, day2):
    """
    Returns True if year1-month1-day1 is before
    year2-month2-day2. Otherwise, returns False.
    """
    if year1 < year2:
        return True
    if year1 == year2:
        if month1 < month2:
            return True
        if month1 == month2:
            return day1 < day2
    return False

def next_day(year, month, day):
    if day < days_in_month(year, month):
        day = day + 1
    else:
        day = 1
        if month < 12:
            month = month + 1
        else:
            month = 1
            year = year + 1
    return(year, month, day)

def days_between_dates(year1, month1, day1, year2, month2, day2):
    """
    Calculates the number of days between two dates.
    """
    assert not date_is_before(year2, month2, day2, year1, month1, day1)

    days = 0
    while date_is_before(year1, month1, day1, year2, month2, day2):
        year1, month1, day1 = next_day(year1, month1, day1)
        days += 1
    return days

如何借助已有的成熟思路？

计算两个日期之间的天数的问题，是从头开始，思考问题的解题思路，然后编码实现，但是面对已有最优解的问题，如果根据成熟的思路，编码实现呢？比如接下来的A*算法问题。

用python实现A*寻路算法

面对一个约束较多的问题，在具体实现上就要考虑所有的约束条件。（本次的实验环境是jupyter notebook）
给定的地图是以pickle文件的形式存储，已经写好函数提供地图上各点的坐标以及各个点之间的连接情况：
比如加载地图（40个点）并显示：

map_40 = load_map('map-40.pickle')
show_map(map_40)

查看点的坐标，会返回一个字典（key是点的编号，value是点的坐标）：

map_40.intersections

查看点的链接情况（会返回一个二维数组，一维下标和点的编号是一一对应的，其值就是一个包含连接点的数组）：

map_40.roads

另外，实际距离与估算距离均采用两点之间的直线距离。

这次解决问题的思路是什么？

在算法/解题思路都已经确定的情况下，其实就是考虑使用什么样的数据结构来存储数据，才能达到方便调用的目的，从而避免在编码的过程中陷入“既要担心循环步骤又要考虑如何取数”的纠结境地。当然前提条件还是要把算法（这里是A*算法）的过程理解透彻。
整个A*算法最关键的地方是：
把frontier中 f 值最小的点移除（同时添加到explored中），对于与被移除的点相连接的每一个点都有：
1. 如果该点已经存在explored中，则不对其做任何操作；
2. 如果该点不在frontier中，则将其直接添加到frontier中；
3. 如果该点已经存在frontier中，则比较当前路径下与原路径下到达该点的 f 值的大小，如果当前路径下更小，则更新 f 值和父节点，否则不对其做任何操作。

在数据结构的选择上也是很关键的：
1. 用集合类型表示frontier和explored，查找速度快。
2. 用字典存储各个点的编号及其node数据类型（以提前定义node数据类型，存储的内容是父节点以及当前的实际消耗，即g值），形式如下：

{0: node(father, g)，1:node(father, g), … , n:node(father, g)}

这样的好处有：
每次比较frontier或者explored中是否存在某个点时，可以直接用in或者not in来判断；并且，如果用node直接存放到集合中，每次更新g以后，对于判断是否是同一个点（此时也变为了判断是否是同一个node数据结构）很麻烦，而使用字典来绑定点的编号和其对应的node数据结构，则只需要判断字典的key值（点的编号）即可。

完整项目代码

from math import sqrt

## Calculate the distance between two points.
def distance(point1_x, point1_y, point2_x, point2_y):

    return sqrt(pow((point1_x-point2_x), 2) + pow((point1_y-point2_y), 2))

## Calculate all the distances between two connected points.
def distance_list(M):

    result_list = []
    for i in range(len(M.roads)):
        row = []
        for j in M.roads[i]:
            row.append(distance(M.intersections[i][0], M.intersections[i][1], 
                                M.intersections[j][0], M.intersections[j][1]))
        result_list.append(row)

    return result_list

## Calculate the heuristic (estimated distance) for every point to the goal.
def heuristic(M, goal):

    result_dict = {}
    for key, value in M.intersections.items():
        result_dict[key] = distance(value[0], value[1], 
                                    M.intersections[goal][0], M.intersections[goal][1])

    return result_dict

## Define the structure of nodes
class node:
    def __init__(self, parent, g):
        self.parent = parent
        self.g = g

## Initialize nodes
def node_dict(M):
    node_dict = {}
    for i in range(len(M.intersections)):
        node_dict[i] = node(None, 0)
    return node_dict

## Find the shortest path
def shortest_path(M,start,goal):
    # Complete the map
    map_roads = M.roads
    dis_list = distance_list(M)
    estimated_dict = heuristic(M, goal)
    n_dict = node_dict(M)

    # Initialize the frontier and the explored set
    frontier = {start}
    explored = set()

    # Loop when frontier is not empty
    while len(frontier) != 0:

        # Calculate the value f for each node in frontier set
        f_dict = {}
        for node in frontier:
            f_dict[node] = n_dict[node].g + estimated_dict[node]

        # Select the node with the minimum f
        node_with_min_f = [key for key, value in f_dict.items() if value == min(f_dict.values())][0]

        # Remove this node from frontier set
        frontier.remove(node_with_min_f)

        # Add this node to explored set
        explored.add(node_with_min_f)

        # If reach the goal, break the loop
        if goal in explored:
            break
        # Check nodes that connect with node_with_min_f
        for node in map_roads[node_with_min_f]:
            if node in explored:
                continue
            elif node not in frontier:
                frontier.add(node)
                n_dict[node].parent = node_with_min_f
                n_dict[node].g = n_dict[node_with_min_f].g + dis_list[node_with_min_f][map_roads[node_with_min_f].index(node)]

            else:
                new_f = n_dict[node_with_min_f].g + dis_list[node_with_min_f][map_roads[node_with_min_f].index(node)] + estimated_dict[node]
                if new_f < n_dict[n_dict[node].parent].g + dis_list[n_dict[node].parent][map_roads[n_dict[node].parent].index(node)] + estimated_dict[node]:
                    n_dict[node].parent = node_with_min_f
                    n_dict[node].g = new_f - estimated_dict[node]

    # Generate the path
    node = goal
    reverse_path = []
    path = []

    while node != start:
        reverse_path.append(node)
        node = n_dict[node].parent
    reverse_path.append(start)

    path = reverse_path[::-1]

    return path

仅用于交流学习，如果感兴趣大家也可以参加该课程，其实能学到挺多东西的。

收获和体会

Udacity的这个无人驾驶入门课程，除了介绍入门知识以外，还在培养解决问题的思路上给了我挺大的帮助和启发。比如面对一个难题，千万不要慌张，细细分析，简化问题，整体流程能够跑通了再做细节的优化是一个很好的解体思路。但是这个思路不是固定不变的，如果问题已有成熟的解题思路，那么重点就应该放在数据结构上。

有了正确的思路，再用高效的数据结构表达，那么编码实现也就水到渠成了。