【BZOJ】[SHOI2008]cactus仙人掌图

传送门：BZOJ1023仙人掌图

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题意

    如果某个无向连通图的任意一条边至多只出现在一条简单回路（simple cycle）里，我们就称这张图为仙人掌图（cactus）。所谓简单回路就是指在图上不重复经过任何一个顶点的回路。
    定义在图上两点之间的距离为这两点之间最短路径的距离。定义一个图的直径为这张图相距最远的两个点的距离。现在我们假定仙人图的每条边的权值都是1，你的任务是求出给定的仙人图的直径。

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输入

输入的第一行包括两个整数n和m（1≤n≤50000以及0≤m≤10000）。其中n代表顶点个数，我们约定图中的顶点将从1到n编号。接下来一共有m行。代表m条路径。每行的开始有一个整数k（2≤k≤1000），代表在这条路径上的顶点个数。接下来是k个1到n之间的整数，分别对应了一个顶点，相邻的顶点表示存在一条连接这两个顶点的边。一条路径上可能通过一个顶点好几次，比如对于第一个样例，第一条路径从3经过8，又从8返回到了3，但是我们保证所有的边都会出现在某条路径上，而且不会重复出现在两条路径上，或者在一条路径上出现两次。

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输出

只需输出一个数，这个数表示仙人图的直径长度。

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题解

    本蒟蒻的理智告诉自己，再也不要做仙人掌了QWQ。
    对于这个模板题，只要我们充分了解仙人掌图的性质就好啦，非常适合口糊，但是怎么用代码实现呢？
    我们先不考虑在环上的情况。对于在桥上的点，我们任意选择一个起点开始dfs遍历，对于每一个桥上的点（包括每个环的父节点），我们设一个数组F[i]表示以第i个结点构成的dfs的树的最大深度。这样，用F[i]不断更新答案，最后得出的就是直径长度（即使有环，桥上的点互相连接时也因为选择了最短路，而不会进入环中）。
    这里讲一下dfs的具体方法，我们可以边dfs边处理桥上的点的F[]，我们用Tarjan建立dfn[],low[]两个数组(Tarjan模板，不会的点这里)，一个一个压入栈，我们不断dfs更新当前结点所连接的点,若遇到一个未标记过的结点，那么将其父节点设为当前结点，深度为当前结点深度+1,若已经标记过，证明这个点的F[]肯定有一个值了，而且与当前点的F[]的路径完全不一样！（仔细想想，你就会发现）。我们假设当前点为i,这个已标记点为j，那么我们就可以用F[i]+F[j]+1（+1是因为i,j之间还有一条边权为1的边）来更新答案啦。接着我们就用F[j]+1来更新F[i]就好了（之所以可以更新，是因为F[]仅代表最大深度，与方向和子结点选择无关，只要能够达到更大，我们就应该更新）。若扫到一个点，而且该点的父节点不为当前结点，并它的所处的强连通个分量的最初点low[]比当前结点还晚入栈（也就是dfn[j]>low[i]），那么可以肯定我们遇到了一个环的最后一个结点，而当前结点i即为这个环的父亲结点，j是遍历完这个环的最后一个点。j的深度减去i的深度+1就是这个环的结点个数（即这个环的大小）。
    那么，做完以上操作后，只有在环上的点才有可能使得目前得到的答案更大。
    我们接下来考虑一下环上的情况。
    本蒟蒻看到这篇题解里的这两幅图，深受启发：

    假设没有考虑环之前，我们得到了黑色线和点连接而成的dfs构造的树，然而并不可爱的一条边连接了结点1和结点3，使之形成了一个环。但我们可以把图画成这样来解决：

    于是我们就发现了一件妙妙的事。我们用环更新答案时，必须要选两个环上的节点，加上它们之间在环上的连线，再加上它们分别在环外的最大深度。
    举个栗子：可以一眼看出，我们应该选结点7到结点5的这条路，也就是环上的结点1和结点3，以及1-2-3这条路，还有1在环外的路1-6-7，最后加上3在环外的路3-5，用式子表示得到：
     ans=max(ans,F[1]+F[3]+dis(i,j)) a n s = m a x ( a n s , F [ 1 ] + F [ 3 ] + d i s ( i , j ) )
    这样我们就可以选取环上的每一个点来搞一搞了！
    先新开一个数组t[]记录一下环上每个结点的F[]（这样处理比较好操作）。
    我们在循环到i的时候，这样来更新（我们假设环的结点个数为tot）：
     ans=max(ans,F[i]+max(F[j]+dis(i,j))(1≤j<i) a n s = m a x ( a n s , F [ i ] + m a x ( F [ j ] + d i s ( i , j ) ) ( 1 ≤ j < i )
    而： dis(i,j)=min(i−j,n+j−i)) d i s ( i , j ) = m i n ( i − j , n + j − i ) )
    所以得到：
     ans=max(ans,F[i]+i+max(F[j]−j)） a n s = m a x ( a n s , F [ i ] + i + m a x ( F [ j ] − j ) ）
    于是我们就用双端队列来维护这个值，也说明了为什么j要从1开始更新。
    完结撒花~~~
    感觉讲的不是很清楚，只有看代码再脑补一下了。

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代码

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

const int N=2e7+10;
const int M=1e5+10;
const int MX=5e4+10;

int n,m,tot,head[MX],nxt[N],to[N];
int dfn[MX],low[MX],f[MX],len[MX],cnt; 
int F[MX],ans,Q[M],t[M];

inline int read()
{
    char ch=getchar();int x=0,t=1;
    while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') t=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
    return x*t;
}

inline int max(int x,int y){return x>y? x:y;}
inline int min(int x,int y){return x>y? y:x;}

inline void lk(int u,int v)
{
    to[++tot]=v;nxt[tot]=head[u];head[u]=tot;
}

inline void dp(int rt,int ed)
{
    int sum=len[ed]-len[rt]+1,l=1,r=1;
    for(int i=ed;i!=rt;i=f[i]){
       t[sum--]=F[i];   
    }Q[1]=1;t[sum]=F[rt];
    sum=len[ed]-len[rt]+1;
    for(int i=1;i<=sum;i++) t[sum+i]=t[i];
    for(int i=2;i<=sum*2;i++){
        while(l<=r && i-Q[l]>(sum>>1)) l++;
        ans=max(ans,t[i]+t[Q[l]]+i-Q[l]);
        while(l<=r && t[Q[r]]-Q[r] <= t[i]-i )r--;
        Q[++r]=i; 
    }
    for(int i=2;i<=sum;i++){//从2开始是因为1是该环的父亲节点，对更新答案无贡献
        F[rt]=max(F[rt],t[i]+min(i-1,sum-i+1));
    }
}

inline void dfs(int now)
{
    dfn[now]=low[now]=++cnt;
    for(int i=head[now];i;i=nxt[i]){
        int e=to[i];
        if(e!=f[now]){
            if(dfn[e]==0){f[e]=now;len[e]=len[now]+1;dfs(e);low[now]=min(low[now],low[e]);}
            else low[now]=min(low[now],dfn[e]);
            if(dfn[now]1);F[now]=max(F[now],F[e]+1);    
            }
        }   
    }
    for(int i=head[now];i;i=nxt[i]){
        int e=to[i];
        if(f[e]!=now && dfn[now]int main(){
    while(scanf("%d%d",&n,&m)==2){
        memset(head,0,sizeof(head));
        memset(F,0,sizeof(F));
        memset(dfn,0,sizeof(dfn));
        memset(low,0,sizeof(low));
        ans=0;tot=0;cnt=0;
       for(int i=1;i<=m;i++){
         int op=read(),pre=read();
         for(int j=2;j<=op;j++){
            int now=read();
            lk(now,pre);lk(pre,now);
            pre=now;
         }
       }
       dfs(1);
       printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}