【BZOJ】5220: [Lydsy2017省队十连测]异或与区间加 多重分块&分类讨论
传送门：bzoj5220
题意
给定长度为 n n n的数组 a a a中不超过 n 2 n^2 n2个区间(以 l , r l,r l,r满足异或和为 k k k的形式给出)，再给定初始值均为 0 0 0的长度为 n n n的数组 b b b和 m m m次 ( s t , e d , w ) (st,ed,w) (st,ed,w)的加值操作，具体操作为：遍历所有给定的区间，若满足 l ≥ s t , r ≤ e d l\geq st,r\leq ed l≥st,r≤ed的区间，则将 b l , b l + 1 , . . . , b r b_l,b_{l+1},...,b_r bl,bl+1,...,br全部加上 w w w。
求操作完毕后的 b b b数组。
n , m ≤ 150000 , a i < 2 30 n,m\leq 150000,a_i< 2^{30} n,m≤150000,ai<230。
题解
这道题真的是将分块&分类讨论进行到底啊。不仅操作分块，赋值也要分情况讨论，最终将复杂度优化到 O ( ( n + m ) n ) O((n+m)\sqrt n) O((n+m)n)。膜了膜 C l a r i s Claris Claris的题解，终于码出来了。
发现网上没什么题解，下面具体讲一下探索解法的过程：
首先考虑如何快速处理出所有满足 a l x o r a l + 1 . . . x o r a r = k a_l xora_{l+1}...xora_r=k alxoral+1...xorar=k的区间。设 t i = a 1 x o r a 2 . . . x o r a i t_i=a_1xora_2...xora_i ti=a1xora2...xorai，条件转化为 t r x o r t l − 1 = k t_rxort_{l-1}=k trxortl−1=k，逐个加入 t i t_i ti，存在 m a p map map里，就可以 n l o g n nlogn nlogn处理出来了，记得记录每个位置对应的 k x o r t i kxor{t_i} kxorti的个数(之后的分类讨论会用到)。
发现这样区间数目最坏情况下多达 n 2 n^2 n2级别(如全为 k k k的情况)。而加值操作固定为 m m m次。那么考虑牺牲加值操作的复杂度，使得 b b b数组的区间加操作复杂度变为 O ( 1 ) O(1) O(1)。
可以将加值操作按 e d ed ed降序排序，倒序遍历 r = i r=i r=i的区间，每次将 e d ≥ i ed\geq i ed≥i的加值操作更新到数组中。而对于每次区间加 [ l , r ] [l,r] [l,r]的询问，就是查询中 s t ≤ l st\leq l st≤l的 ∑ s t i ≤ l w i \sum \limits_{st_i\leq l}w_i sti≤l∑wi。将数组分块，维护加值操作即可。
区间加操作显然可以转换为差分，最后答案求个前缀和即可。这样加值操作总共是 O ( m n ) O(m\sqrt n) O(mn)的，单个区间加操作是 O ( 1 ) O(1) O(1)的。
下面到了分类讨论环节：
为保证复杂度，将区间加右端点为 r r r对应的可行 l l l个数 ≥ n \geq \sqrt n ≥n和 < n <\sqrt n <n的情况分别处理。
- 可行 l < n l<\sqrt n l<n。直接遍历 l l l，总复杂度 O ( n n ) O(n\sqrt n) O(nn)。
- 可行 l ≥ s q r t n l\geq sqrt n l≥sqrtn。直接遍历 l l l复杂度无法保证，而这样的情况出现次数同样 ≤ n \leq \sqrt n ≤n次，那么将所有满足 t l ′ = t l , t r ′ = t r t_{l'}=t_l,t_{r'}=t_r tl′=tl,tr′=tr的区间 [ l , r ] [l,r] [l,r]提出来，按照以下方法 O ( n + m ) O(n+m) O(n+m)处理，总复杂度 O ( ( n + m ) n ) O((n+m)\sqrt n) O((n+m)n)。
已经将所有 t l , t r t_l,t_r tl,tr相同且出现次数 ≥ n \geq\sqrt n ≥n的集合提取出来了，现在逐个集合进行处理。
将加值操作拆成 ( s t − 1 , − w ) , ( e d , w ) (st-1,-w),(ed,w) (st−1,−w),(ed,w)，设后缀和为 S [ 5 ] S[5] S[5]， S [ 5 ] [ p o s ] S[5][pos] S[5][pos]即为所有 l ≤ p o s ≤ r l\leq pos\leq r l≤pos≤r的区间的权值和。
设可行 l l l有 n l nl nl个，位置存在 q l ql ql数组中，可行 r r r有 n r nr nr个，位置存在 q r qr qr数组中。那么考虑对于一个区间加操作 [ l , r ] [l,r] [l,r]中 b l , b r + 1 b_l,b_{r+1} bl,br+1究竟加/减了哪些值。
需要维护6种前缀/后缀和，在这里先列出：
- S [ 0 ] S[0] S[0]：前缀可行 l l l个数
- S [ 1 ] S[1] S[1]：前缀可行 r r r个数
- S [ 2 ] S[2] S[2]： S [ 2 ] [ p o s ] = ∑ i = 1 m [ s t i > p o s ] ( S [ 1 ] [ e d i ] − S [ 1 ] [ s t i − 1 ] ) × w i S[2][pos]=\sum\limits_{i=1}^m[st_i>pos](S[1][ed_i]-S[1][st_i-1])\times w_i S[2][pos]=i=1∑m[sti>pos](S[1][edi]−S[1][sti−1])×wi
- S [ 3 ] S[3] S[3]： S [ 3 ] [ p o s ] = ∑ i = 1 m [ s t i ≤ p o s ≤ e d i ] S [ 0 ] [ s t i − 1 ] × w i S[3][pos]=\sum\limits_{i=1}^m[st_i\leq pos\leq ed_i]S[0][st_i-1]\times w_i S[3][pos]=i=1∑m[sti≤pos≤edi]S[0][sti−1]×wi
- S [ 4 ] S[4] S[4]： S [ 4 ] [ p o s ] = ∑ i = 1 n r [ q r i ≥ p o s ] S [ 5 ] [ q r i ] S[4][pos]=\sum\limits_{i=1}^{nr}[qr_i\geq pos]S[5][qr_i] S[4][pos]=i=1∑nr[qri≥pos]S[5][qri]
- S [ 5 ] S[5] S[5]： S [ 5 ] [ p o s ] = ∑ i = 1 m [ s t i ≤ p o s ≤ e d i ] w i S[5][pos]=\sum\limits_{i=1}^{m}[st_i\leq pos\leq ed_i]w_i S[5][pos]=i=1∑m[sti≤pos≤edi]wi
对于每个 b l b_l bl，加上 S [ 4 ] [ l ] S[4][l] S[4][l]，但这样把 s t ≥ l , e d ≥ r st\geq l,ed\geq r st≥l,ed≥r的也加上了，所以减去 S [ 2 ] [ r ] S[2][r] S[2][r]。
对于每个 b r b_r br，减去 S [ 0 ] [ r ] × S [ 5 ] [ r ] S[0][r]\times S[5][r] S[0][r]×S[5][r]，但同样把 s t ≥ l , e d ≥ r st\geq l,ed\geq r st≥l,ed≥r的也减去了，所以加上 S [ 3 ] [ r ] S[3][r] S[3][r]。
S [ 0 S[0 S[0~ 5 ] 5] 5]可以 O ( n + m ) O(n+m) O(n+m)处理出来，多了几遍循环，常数略大。
这样就做完了，代码实现如同上述。
p . s . p.s. p.s.按照 > n >\sqrt n >n判断会 T L E . . . TLE... TLE...，玄学调参设成 > 700 >700 >700就过了。
做这种题一定要有耐心，想清楚流程写在纸上以后再打代码。。。
代码
#include