【模板】二次剩余Cipolla算法/欧拉准则-bzoj5104: Fib数列
欧拉准则
对于质数 p p p， x 2 ≡ a ( m o d p ) ⇔ a p − 1 2 ≡ 1 ( m o d p ) x^2\equiv a\pmod p\Leftrightarrow a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\pmod p x2≡a(modp)⇔a2p−1≡1(modp)。
证明：
充分性：
a p − 1 2 = ( x 2 ) p − 1 2 = x p − 1 ≡ 1 ( m o d p ) a^{\frac{p-1}{2}}=(x^2)^{\frac{p-1}{2}}=x^{p-1}\equiv 1\pmod p a2p−1=(x2)2p−1=xp−1≡1(modp)
必要性：
设 g g g为模 p p p意义下的原根， g i ≡ a ( m o d p ) g^i\equiv a\pmod p gi≡a(modp)，则
g i ( p − 1 ) 2 ≡ 1 ( m o d p ) g^{\frac{i(p-1)}{2}}\equiv 1\pmod p g2i(p−1)≡1(modp)
g g g为原根，则 ( p − 1 ) ∣ i ( p − 1 ) 2 (p-1)|\frac{i(p-1)}{2} (p−1)∣2i(p−1)， i i i为偶数， x ≡ g i 2 ( m o d p ) x\equiv g^{\frac i2}\pmod p x≡g2i(modp)
Cipolla算法
一种求解模奇质数意义下的二次同余方程的算法。
即 p p p为奇质数，给定 a a a，求 x x x满足： x 2 ≡ a ( m o d p ) x^2\equiv a\pmod p x2≡a(modp)
复杂度 O ( log p ) O(\log p) O(logp)
具体算法:
可能需要死记硬背一下。。。
随机找到任意一个 b b b，满足 b 2 − a ≡ w b^2-a\equiv w b2−a≡w， w w w是模 p p p意义下的非二次剩余( w p − 1 2 ≡ − 1 ( m o d p ) w^{\frac{p-1}{2} }\equiv -1\pmod p w2p−1≡−1(modp))。
类似于虚数，设 i = w i= \sqrt w i=w，扩域后每个数表达为 ( a , b ) = a + b i (a,b)=a+bi (a,b)=a+bi，运算为：
( r 1 , d 1 ) + ( r 2 , d 2 ) = ( r 1 + r 2 , d 1 + d 2 ) (r_1,d_1)+(r_2,d_2)=(r_1+r_2,d_1+d_2) (r1,d1)+(r2,d2)=(r1+r2,d1+d2)
( r 1 , d 1 ) ⋅ ( r 2 , d 2 ) = ( r 1 r 2 + d 1 d 2 w , r 1 d 2 + r 2 d 1 ) (r_1,d_1)·(r_2,d_2)=(r_1 r_2+d_1d_2w,r_1d_2+r_2d_1) (r1,d1)⋅(r2,d2)=(r1r2+d1d2w,r1d2+r2d1)
< G , + , ⋅ > <G,+,·> <G,+,⋅>是个环，满足交换律和结合律。
答案即为： x = ( b + i ) p + 1 2 x=(b+i)^{\frac {p+1}{2}} x=(b+i)2p+1
证明：
x 2 \quad x^2 x2
= ( b + i ) p ( b + i ) =(b+i)^p(b+i) =(b+i)p(b+i)
= ( b p + i p ) ( b + i ) =(b^p+i^p)(b+i) =(bp+ip)(b+i) ( ( b + i ) p (b+i)^p (b+i)p二项式定理展开后其余项均含 p p p模后为0)
由 b p ≡ b , i p = w p − 1 2 i = − i b^p\equiv b,i^p=w^{\frac{p-1}{2}}i=-i bp≡b,ip=w2p−1i=−i
则 x 2 = ( b − i ) ( b + i ) = b 2 − i 2 = b 2 − w = a x^2=(b-i)(b+i)=b^2-i^2=b^2-w=a x2=(b−i)(b+i)=b2−i2=b2−w=a
例题
传送门：bzoj5104
求在 ( m o d 1 0 9 + 9 ) \pmod{10^9+9} (mod109+9)的意义下，数字 N N N在 F i b Fib Fib数列中出现在哪个位置
无解输出 − 1 -1 −1
N < = 1 0 9 + 9 N < = 10^9+9 N<=109+9
题解
F i b Fib Fib数列的通项公式： F n = ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n 5 F_n=\frac{(\frac{1+\sqrt 5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt 5}{2})^n}{\sqrt 5} Fn=5(21+5)n−(21−5)n
吐槽一下这怎么记得到啊。。。
设 t = ( 1 + 5 2 ) n , T = 5 N t=(\frac{1+\sqrt 5}{2})^n,T=\sqrt 5N t=(21+5)n,T=5N
则 t − ( − 1 ) n 1 t = T t-(-1)^n\frac{1}{t}=T t−(−1)nt1=T
左右同乘 T T T：
得到方程 t 2 − T t − ( − 1 ) n = 0 t^{2}-Tt-(-1)^n=0 t2−Tt−(−1)n=0
分 n n n的奇偶讨论，先求出 Δ \sqrt\Delta Δ后 B S G S BSGS BSGS求解。
代码
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