【BZOJ】3143: [Hnoi2013]游走-高斯消元&期望DP

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题解

边$l_i$的期望经过次数为$w_i$。

贪心将边按$w$降序排序，答案即$\sum i\cdot w_i$。

但边的期望不好统计，考虑转成点：
设$d{p}_i$表示点$i$的期望经过次数，$d_i$为点的出度，则
$w=[u̸=n]\frac{d{p}_u}{d_u}+[v̸=n]\frac{d{p}_v}{d_v}$

对于前$n-1$个点，存在环形的DP转移，高斯消元求解即可。

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代码

#include
using namespace std;
typedef double db;
const int N=550;
const db eps=1e-12;
int n,m,g[N][N],tot,to[N];
db a[N][N],p[N],ky[N*N],ans;
 
inline bool vl(db x)
{return (x<=eps) && (x>=-eps);}
 
inline void init()
{
    int i,j,ix,iy;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i<=m;++i){
        scanf("%d%d",&ix,&iy);
        to[ix]++;to[iy]++;
        g[ix][iy]=g[iy][ix]=1;
    }   
}
 
inline void build()
{
    int i,j;
    a[1][n]=1.0;
    for(i=1;i<n;++i){
        a[i][i]=1.0;
        for(j=1;j<n;++j) if(g[i][j])
           a[i][j]=-1.0/(db)to[j];  
    }
}
 
inline void gauss()
{
    int i,j,k,nw;db bs;
    for(i=1;i<n;++i){
        if(vl(a[i][i])){
            for(j=i+1;j<n;++j)
             if(!vl(a[j][i])){nw=j;break;}
            for(j=i;j<=n;++j) 
            swap(a[nw][j],a[i][j]);
        }
        for(j=i+1;j<n;++j) if(!vl(a[j][i])){
            bs=-a[j][i]/a[i][i];
            for(k=i;k<=n;++k)
             a[j][k]+=bs*a[i][k];
        }
    }
}
 
inline void get()
{
    int i,j;
    for(i=n-1;i;--i){
        p[i]=a[i][n]/a[i][i];
        for(j=i-1;j;--j)
            a[j][n]-=a[j][i]*p[i];
    }
    for(i=1;i<n;++i)
     for(j=i+1;j<=n;++j) if(g[i][j]){
        tot++;ky[tot]=p[i]/(db)to[i]+p[j]/(db)to[j];
     }
    sort(ky+1,ky+tot+1);
    for(i=1;i<=m;++i) ans+=ky[i]*(m-i+1.0); 
    printf("%.3lf\n",ans);
}
 
int main(){
    init();
    build();
    gauss();
    get();
}