最短路问题及路径回归

最短路问题：给定两个顶点，在以这两个点为起点和终点的路径中求最小路径或最小步数问题。

单源最短路问题就是固定一个起点，求它到其他所有点的虽短路的问题。重点也固定的点叫做两点之间最短路问题。但是解决单源最短路问题的复杂度也是一样的，因此通常作为单源最短路问题来解决。

单源最短路径1(Bellman-Ford算法)：

d[i]=min{d[j]+(从j到i的边的权值)|e =(j,i) E}

如果给定的图是一个DAG，就可以按照拓扑排序给顶点编号，利用递推关系计算出d

如果图中有圈，就无法依赖这样的顺序进行计算，在这种情况下，记当前顶点i的最短路长度为d[i]，并设初值d[s]=0,d[i]=INF，再不断使用递推关系式更新d的值就可以算出新的d。只要图中不存在负圈，这样的更新次数就是有限的，结束之后的d就是最短距离了。

单源最短路径2(Dijkstra算法)：

在没有负权值的情况下，Bellman-Ford算法中如果d[i]还不是最短距离的时候，那么进行d[j]=d[i]+(从i到j的边的权值)的更新也无法使得到的d[j]成为到j的最短长度，而且即使d[i]没有变化，每一次循环也都要检查一遍从i出发的所有边，这是很浪费时间的，所以对Bellman-Ford算法作出修改。

1、 找到最短距离已经确定的顶点，从它出发更新相邻顶点的最短距离。

2、 已经确定了最短距离的顶点在后面的操作中就不会再作为操作对象。

使用邻接矩阵实现Dijkstra算法的复杂度为O(|V|^2)，使用邻接表的话更新最短距离只需要访问每一条边一次即可，所以复杂度为O(|E|)。

任意两点间的最短路径问题(Floyed算法)：

路径还原：以Dijkstra算法为例，满足d[j]=d[k]+cost[k][j]的顶点k就是最短路上顶点j的前趋节点，因此通过不断寻找前趋节点就可以恢复最短路，时间复杂度是O(|E|)。