进阶贪心算法例解

本文章题目和算法本身来自《算法设计与分析》（屈婉玲版），黑书（刘汝佳），理解为本人理解。如有补充或不同见解欢迎在下方留言区讨论。

目录

• 哈夫曼树
• 最小生成树：Prim
• 例：钓鱼
• 例：照亮的山景
• 例：过河问题

哈夫曼树

算法描述

为获得平均长度最短的编码，不断将字符集中使用频率最小的两个字符取出（不放回），合并成为一棵子树，将父节点作为一个字符放回字符集，使其频率为两个子节点的权值之和。这样构造的树是一棵提供最优编码的树，每一条从树根到树叶的路径都是一个字符的编码

核心问题

• 为什么每次要选取两个频率最小的字符（归纳基础）
• 证明牵扯到树的变化，而有关优化目标总是和树的高度有关，有失一般性，怎样处理？

试证

• 对于一个最优方案对应的二叉树T，倘若我将频率最低的两个子节点放到最底层，那么我就可以把它们合并，将二叉树规模缩小，运用归纳假设构造一个最优解
• 倘若我可以知道合并节点之后前后两棵树的关系，我就可以把这步贪心决策和这棵新树合并，证明它也有最优性。但首先需要先证明T合并之后的那棵树也是个最优的树

引理4.2

设$x,y$是最优二叉编码树T 中频率最小的两个叶子节点，与最底层两个叶子节点$x$,y$交换后不会改变树的最优性。显然有：
$$B(T)-B(T^{{}^{\prime }})=[f(x)-f(a)][d_T(x)-d_T(a)]+[f(y)-f(b)][d_T(y)-d_T(b)]\ge 0$$

引理4.3

$x,y$为二叉树T的两片叶子，设将其合并后新树为$T^{{}^{\prime }}$，则两棵树的关系为：
$$B(T)=B(T)+f(x)+f(y)$$

正式证明

• 由于不是按步骤归纳而是按规模归纳，所以第一步不是最重要的推理
• $n=2$时结论显然
• 假设$n=k$时成立。对于一棵有$n+1$个字符的二叉编码树，我们可以把两片频率最小的叶子$a,b$放到最下面而不影响最优性
• 将其合并成节点$s$获得树T’，则可以根据贪心算法用T‘的叶子节点的权值构造最优二叉编码树T*
• T’也是一棵最优二叉编码树，否则B(T’)>B(T*)，两边同时加f(a),f(b)，左边变成B(T)，右面是将$a,b$填到$s$下面得到的新树，显然T的最优性失效，矛盾
• 所以把$a,b$填到$s$下面构成的新树的平均编码长度与最优编码相等，它也是个最优编码：使用贪心想法构成的最优编码

套路总结

对于归纳问题规模型贪心，有以下套路：

• 对于规模为$(n+1)$的问题，证明贪心操作所涉及的元素不会影响到最优性（如挪节点）
• 合并，缩小问题规模为$T^{\prime }$，用归纳假设：规模为$n$时可用贪心构造$T^{\ast }$
• 证明$T^{\prime }$也是最优解，因为$T^{\prime }$和$T^{\ast }$同规模，故展开后也同规模，故用贪心构造出的解对于$(n+1)$规模也是最优解

讲的很抽象，多练习。

最小生成树：Prim

算法综述

• 将图G的顶点分为两个集合：处理过的$S$和未处理过的$T-S$
• 选择连接$S$和$T-S$的最短的边$e$，并将$T-S$侧的与$e$相连的点加入到$S$中
• 重复以上算法，直至$T-S$为空

证明思路

• 与上一题不同，本题采用对贪心的步骤进行归纳，而非问题的规模
• 证明的关键在于第一步：使用第一步的证明作为后续子问题的归纳基础
• 通用思路：假设存在使第k步成立的最优方案，对于问题中剩下未处理的部分证明它必须用最优子问题的解法与前k步成立才能得到最终的最优方案
• 利用归纳基础：子问题的第一步可以用贪心算法，故构造了一个包含前k+1步贪心决策的最优决策。

证明实战

• 第一步必须是选择权值最小的边$e_1=(1,i)$，否则若使用的是$e_1^l,w(e_1^l)>w(e_1)$，在最终生成的树$T$中若加入$e_1$则生成含$e_1,e_1^l$的圈，破除$e_1^l$后剩下的仍是一棵生成树，但总长下降，与最优性矛盾
• 假设存在最小生成树$T$包括前k步选择的边，构成了已处理点集$S$和未处理点集$V-S$,根据最小生成树的定义，$T$的结构必须是$S$中已经出现的树+将$S$看成一个大点后剩下点的生成树合并的结果，运用第一步归纳假设即可证毕。

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例：钓鱼

题目描述

在一条水平路边，有$n(2\le n\le 25)$个钓鱼湖，从左到右编号为1、2、3、……、n.佳佳有$H(1\le H\le 16)$个小时的空余时间，他希望用这些事件钓到尽量多的鱼。他从湖1出发，向右走，有选择的在第$i+1$个湖边停留一定的时间钓鱼，最后在某一个湖边结束钓鱼。佳佳测出从第i个湖到第$i+1$个湖需要走$5\ast T_i$分钟的路，还测出在在第$i$个湖边停留，第一个5分钟可以钓到鱼$F_i$，以后再每钓5分钟鱼，鱼量减少$D_i$，为了简化问题，佳佳假定没有其他人钓鱼，也不会有其他因素影响到他钓到期望数量的鱼。请设计算法给出佳佳能钓到最多的鱼的方案。

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问题抽取

• 变量太多了，行走时间，停留时间
• 湖比较少，我们枚举最后停留的湖，把行走时间变成常量
• 问题中以5分钟作为基本单位，不妨把5去掉
• 行走时间为常量，那问题等价为佳佳可以瞬间移动

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贪心策略

• 在第$i$分钟瞬移到可以收获最多鱼的湖去抓鱼，更新这个湖的抓鱼量
• 第一步正确性显然，若存在最优解包含前$k$步选择，则剩下的时间内也应是剩下时间内的最优选择，故可用第一步构造处使用贪心算法的解与前$k$步成立
• 证明较显然故略去
• 最后不要忘记将$n$中情况合并

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复杂度

• 暴力枚举各时刻可获鱼数最大值：$O(H{n}^2)$
• 堆优化：$O(Hnlogn)$

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总结

感觉问题为贪心解法时应注意控制可变量的个数，明确优化对象，方便思考

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例：照亮的山景

题目描述

在一片山的上空，高度为$T$处有$N$个处于不同水平位置的灯泡。如果山的边界上某一点与灯i的连线不经过山上的其他点，我们称灯i可以照亮该点。开尽量少的灯，使得整个山景都被照亮

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优化对象选择

• 选择电灯？
• 区间是碎的，难以处理。（图先欠着）

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如果向下看

• 所有的可行方案都照亮了所有的谷底
• 所有照亮所有谷底的方案都是可行方案（光路是可逆的）
• 能照亮一个谷底的灯必定是一个连续的区间（图先欠着）

那我们直接以谷底优化对象好了

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算法综述

• 对每一个谷底，预处理能将其照亮的所有灯泡区间
• 选择最少的灯泡，使得每个区间中至少有一个灯泡被选中了（贪心）

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贪心决策（做有智商的莽夫）

• 显然的决策：如果区间$I$包含了区间$J$，那么考虑区间$I$的决策是无用的，因为必有一点在$J$中，$I$自然满足
• 只需讨论所有部分重合和不重合的区间
• 莽夫：最左侧的区间是最危险的区间，那么就考虑它，选它最右面的点，以保证能照亮更多与它重合的区间，把这些被照亮的区间删去

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证明

• 以步数做归纳，显然莽夫的思考过程就是我们的决策基础
• 若存在最优决策T包含前k步的决策，若再处理已选灯的区间是多余的，去掉他们，应对后面的区间进行最优决策，而由归纳基础得出存在以贪心决策开头的方案使得其为最优方案
• 都是一个套路。。。
• 时间复杂度：直接线性扫描，为$O(n)$

例：潜泳比赛

题目描述

• 有一支由$N$人组成的潜水队参与比赛，目标是全队游到对岸。
• 潜水需氧气筒，整队只有一个氧气筒。
• 氧气筒可以两人公用，但速度就是两人中较慢者的速度。
• 任意两人可以一同潜泳。
• 请设计最优方案，使得最后一名选手到达对岸的时间尽量早。

莽夫思路一

• 总需要一个人来把氧气筒送回来，而游得再快的人也会被游得慢的人拖累，不妨就让游得最快的人来回送氧气筒

莽夫思路二

• 如果让最慢的两个人一起过去，在对岸安排好送氧气筒回来的人怎么样？
• 把最快的两个人先送过去，让他们充当搬运工

请计算

• 1、 2、 5、 6 、8、 9
• 1、 2、 2、 2、 2、 2

如果合并这两种思路

• 这两种思路的共同点，就是把最慢的两个人送过去了，而对于不同的情况有不同的选择
• 若将所有人按照过河时间升序排序成$a_1,a_2,...,a_N$，那么易知如果$a_1+a_{N-1}-2a_2<0$时用算法1，反之用算法2，我们就能最快地把最慢的两个人送到对岸去
• 这样选择研究的对象看起来和谐了一些

证明归纳基础

• 归纳基础：将最慢的两个人先用最快的方式送过去，不会影响总时间
• 倘若存在最优策略不是这样：最慢的两个人要么是一起过，要么是拖累着别人过。
• 这两个人如果是一起过的，那就得有人回来送氧气筒。如果对面有人的话肯定不是他们两个中的一个回来送氧气筒。如果不是$a_1或a_2$回来送，把$a_1,a_2$调到前面去会更优。那不如把他们的过河顺序都调到前面去
• 如果这两个人是分开过的，那么还是用$a_1$去送氧气筒最快，那么为什么不把顺序调到前面呢？
• 完整证明思路与前面基本一样，节省时间略去不提
• 说不太清楚，有更好的思路请到我的万年不更的博客下留言讨论

时间复杂度

• 只需线性扫描，$O(n)$结束

总结

!找好优化目标!

练：浇花问题

• 有一长方形花坛，在于其较长边平行的中轴线上安放了若干水龙头，每个水龙头能浇到草地的半径是已知的。
• 保证存在可以把所有草地都浇到的方案，请把其中一个选择水龙头最少的方案找出来