JavaScript与Floyd 最短路算法

背景

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NBA超级后场组合灯泡组合(Harden和CP3)休赛期来到中国玩耍，他们两人打算在四个城市进行玩耍，最后他们选择了北京、上海、西安和长沙。假设这四个城市之间有些城市之前有航线，而有些城市之间没有航线。为了方便行程，出发前，他们想要知道任意两个城市之间的最短路程。如果下图就是航线图：

数据结构

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我们使用一个二维数组Path来存储上述图的信息。比如说1号城市到二号城市之间的距离可以存储为Path[0][1] = 2，而2号城市无法直接到达1号城市我们记Path[1][0] = Infinity。另外我们约定一个城市到达本身的距离为0，即Path[0][0] = 0。

思路

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想要使两个城市（x，y）之间的距离变短，此时我们可以引入第三个城市作为中转点（z），本来是x->y，现在变成x->z->y，只有这样才有可能缩短x和y之间的距离，那么这个中转点z到底是哪个城市，或者可以说这个z代表的是多个中转点，因为有时候经过多个中转点，x和*y之间的距离会更短。下面我们通过一步步的添加中转点，来更新两点之间的最短距离。

过程

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我们依照最上面的航线图，解释如何得到最短路径。
当任意两个城市之间不允许经过第三个城市的时候，得到的矩阵如下：

第一步：
现在我们只允许经过1号城市这个中转点，这个时候如何求解任意两点之间的最短距离。我们只需进行如下比较：

Path[i][0] + Path[0][j] < Path[i][j]

其中Path[i][j]表示的是城市i+1和j+1（因为JS中，数组索引从0开始）之间的距离。而Path[i][0] + Path[0][j] 表示的是先从i+1到1号城市，再从1到j+1的距离之和。
这个时候把i从0~n-1循环，把j从0~n-1循环，既可以得到当经过中转点1号城市的时候，任意两点之间的最短距离。

代码实现：

for(var i = 0; i < n; i++ ){
    for(var j = 0; j < n; j++){
        if(Path[i][0] + Path[0][j] < Path[i][j]){
            Path[i][j] = Path[i][0] + Path[0][j];
        }
    }
}

这个时候我们可以把最短距离矩阵更新为：

从上图可以看出，在经过中转点：1号城市的时候，有几个城市之间的最短距离减少了。

接下来，我们要做的就是增加中转点：2号城市。要执行的代码如下：

for(var i = 0; i < n; i++ ){
    for(var j = 0; j < n; j++){
        if(Path[i][0] + Path[0][j] < Path[i][j]){
            Path[i][j] = Path[i][0] + Path[0][j];
        }
    }
}
for(var i = 0; i < n; i++ ){
    for(var j = 0; j < n; j++){
        if(Path[i][1] + Path[1][j] < Path[i][j]){
            Path[i][j] = Path[i][1] + Path[1][j];
        }
    }
}

我们可以继续更新距离矩阵为：

从上图可以看出，增加中转点后，有些城市之间的最短距离进一步减小。

同理，我们进一步增加中转点城市3和城市4，就可以得到最终的距离矩阵为：

下面给出一个完整函数：

//接收一个参数，参数即用二维数组存储的距离矩阵
function floyd(Path){
    var n = Path && Path.length;
    var m = n && Path[0].length;
    if(m && n && m===n){
        for(var k = 0; k < n; k++){
            for(var i = 0; i < n; i++ ){
                for(var j = 0; j < n; j++){
                    if(Path[i][k] + Path[k][j] < Path[i][j]){
                        Path[i][j] = Path[i][k] + Path[k][j];
                    }
                }
            }
        }
    }
}

注意：Floyd算法不能解决带有“负权回路”（或者叫“负权环”）的图。因为带有“负权回路”的图没有最短路。