斐波那契数列算法的优化设计

1. 基本概念

   • 数据：信息载体，被计算机识别处理的集合符号
   • 数据元素：数据基本单位
   • 数据对象：具有相同性质的数据元素集合
   • 数据类型：一个值得集合与定义在此集合上的一组操作总称
   • 抽象数据类型：数据结构+定义与此的一组操作
   • 数据结构：相互之间存在一种或多种关系的数据关系集合

2. 数据结构三要素

   • 逻辑结构：分为线性结构和非线性结构。如下图：

• 线性表：元素之间只存在一对一的关系，即除了第一个和最后一个数据元素之外，其它数据元素都是首尾相接的。

• 线性表有两种存储方式，一种是顺序存储结构，另一种是链式存储结构。

• 集合：同属于一个集合

• 属性结构：元素存在一对多的关系

• 图状结构或网状结构：元素存在多对多关系

  • 存储结构：

    顺序存储：相邻元素存储在物理位置上，元素之间关系由存储单元表示。

    优点：可以实现随机存取，元素占用最少空间

    缺点：只能使用相邻一块存储单元，可能产生较多外部碎片

    链式存储：逻辑上相邻元素存储在物理位置上也相邻存储单元里，元素之间由存储单元邻接关系体现。

    优点：充分利用所有存储单元；

    缺点：每个元素因存储指针而占用额外的存储空间，只能实现顺序存取；

    索引存储：建立附加索引表；

    优点：检索速度快

    缺点：增加的索引表，占用过多存储空间；修改时，也会话费很多时间
    散列存储：根据元素关键字直接计算出该元素的存储地址，称为Hash存储

  优点：检索，增加和删除结点操作更快；

  缺点：如果散列函数不好则会出现元素存储单元的冲突，解决冲突需要增加时间和空间开销

3.算法的特点
有穷性、确定性、可行性、输入、输出，其含义，你懂得，无需我多言

4.算法效率的度量

• 时间复杂度

  一个语句频度在该语句在算法中被重复执行次数，所有语句频度之和，记作：T(n) 是算法问题规模N的函数

• 空间复杂度

  S(n)，定义为算法所耗费的存储空间，是问题规模N的函数

思维拓展
1.对于两种不同的数据结构，逻辑结构或物理结构一定不相同吗？

两种不同的数据结构，他们的逻辑结构和物理结构完全有可能相同。比如二叉树和二叉排序树，二叉排序树可以采取二叉树的逻辑表示和存储方式，前者通常用来表示层次关系，而后者通常用来排序和查找。虽然运算都有建立树，插入结点，删除结点和查找结点等，但是对于二叉树和二叉排序树，这些运算定义是不同的，以查找为例，二叉树时间复杂度是O(n)，而二叉排序树是O(log2n)

经典题目2：写一个函数，输入n，其斐波那契数列的第n项。

方法1：使用递归解，时间复杂度是n的指数级别

#include
#include
using namespace std;

int Fibonacci(int n)
{
    if(n<=0)
        return 0;
    if(n==1)
        return 1;
    return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
}

void main()
{
    int f=Fibonacci(10);
    cout<"pause");
}

时间复杂度是n的指数级别，随着n的增大，以f(10)为例，f(10)=f(9)+f(8)，f(9)=f(8)+f(7)。其中的f(8)就是重复计算的。

方法2：开辟一个长度为(n+1)的数组，时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)

将这些计算出来的值保存在一个数组arry[n+1]上，这样计算斐波那契数列就相当于是一个填表的过程:

int Fibonacci(int n)
{
    if(n<=0)
        return 0;
    else if(n==1)
        return 1;
    else
    {
        //动态创建一个长度为(n+1)的数组
        int *arr=new int[n+1];
        arr[0]=0;
        arr[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            arr[i]=arr[i-1]+arr[i-2];
        }
        int result=arr[n];

        delete [] arr;
        return result;
    }
}

注意点：

1. 因为不知道要求的f(n)中的n有多大，因此不能事先开辟一个数组，需要动态创建数组。而动态数组与数组变量不同，动态分配的数组将一直存在，直到程序显式释放它为止。普通的数组变量，只要出了数组的作用于，其内存会自动释放。

2. c++提供delete []表达式释放指针所指向的数组空间。delete []
   arry;该语句回收了arr所指向的数组，把相应的内存返回给自由存储区。在关键字delete和指针arr之间的方括号[]是必不可少的：它告诉编译器该指针指向的是自由存储区中的数组，而非单个对象。delete
   arry只释放了arr指针所指向的内存地址，理论上来说会少释放了内存空间，从而产生内存泄露。

   方法3：优化方法2，空间复杂度为O(1)，时间复杂度为O(n)

int Fibonacci(int n)
{
    if(n<=0)
        return 0;
    else if(n==1)
        return 1;

    else
    {
        //当n>=2时，初始化pre=f(0)=0,post=f(1)=1,f(n)=0;
        int pre=0;
        int post=1;
        int fn=0;
        //采用循环计算斐波那契数列，通过两个临时变量pre和post保存中间结果，避免重复计算
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            fn=pre+post;//fn等于其前面两个元素值的和
            //然后让pre和post分别直线他们后面的元素。
            pre=post;
            post=fn;
        }
        return fn;
    }
}