八大排序算法详解——基数排序

基本思想

基数排序是一种非比较型整数排序算法，其原理是将整数按位数切割成不同的数字，然后按每个位数分别比较。由于整数也可以表达字符串（比如名字或日期）和特定格式的浮点数，所以基数排序也不是只能使用于整数。
基数排序可以采用两种方式：

• LSD（Least Significant Digital）：从待排序元素的最右边开始计算（如果是数字类型，即从最低位个位开始）。
• MSD（Most Significant Digital）：从待排序元素的最左边开始计算（如果是数字类型，即从最高位开始）。

我们以LSD方式为例，从数组R[1..n]中每个元素的最低位开始处理，假设基数为radix，如果是十进制，则radix=10。基本过程如下所示：

1. 计算R中最大的元素，求得位数最大的元素，最大位数记为distance；
2. 对每一位round<=distance，计算R[i] % radix即可得到；
3. 将上面计算得到的余数作为bucket编号，每个bucket中可能存放多个数组R的元素；
4. 按照bucket编号的顺序，收集bucket中元素，就地替换数组R中元素；
5. 重复2~4，最终数组R中的元素为有序。

算法实现

基数排序算法，Java实现，代码如下所示：

public abstract class Sorter {
             public abstract void sort(int[] array);
        }

        public class RadixSorter extends Sorter {

             private int radix;

             public RadixSorter() {
                  radix = 10;
             }

             @Override
             public void sort(int[] array) {
                  // 数组的第一维表示可能的余数0-radix，第二维表示array中的等于该余数的元素
                  // 如：十进制123的个位为3，则bucket[3][] = {123}
                  int[][] bucket = new int[radix][array.length];
                  int distance = getDistance(array); // 表示最大的数有多少位
                  int temp = 1;
                  int round = 1; // 控制键值排序依据在哪一位
                  while (round <= distance) {
                       // 用来计数：数组counter[i]用来表示该位是i的数的个数
                       int[] counter = new int[radix];
                       // 将array中元素分布填充到bucket中，并进行计数
                       for (int i = 0; i < array.length; i++) {
                            int which = (array[i] / temp) % radix;
                            bucket[which][counter[which]] = array[i];
                            counter[which]++;
                       }
                       int index = 0;
                       // 根据bucket中收集到的array中的元素，根据统计计数，在array中重新排列
                       for (int i = 0; i < radix; i++) {
                            if (counter[i] != 0)
                                 for (int j = 0; j < counter[i]; j++) {
                                      array[index] = bucket[i][j];
                                      index++;
                                 }
                            counter[i] = 0;
                       }
                       temp *= radix;
                       round++;
                  }
             }

             private int getDistance(int[] array) {
                  int max = computeMax(array);
                  int digits = 0;
                  int temp = max / radix;
                  while(temp != 0) {
                       digits++;
                       temp = temp / radix;
                  }
                  return digits + 1;
             }

             private int computeMax(int[] array) {
                  int max = array[0];
                  for(int i=1; iif(array[i]>max) {
                            max = array[i];
                       }
                  }
                  return max;
             }
        }

排序过程

假设待排序数组为array = {94,12,34,76,26,9,0,37,55,76,37,5,68,83,90,37,12,65,76,49}，数组大小为20，我们以该数组为例，
最大的数组元素的位数为2，所以需要进行2轮映射（映射到对应的桶中），执行基数排序的具体过程，如下所示：

• 数组原始顺序

数组的原始顺序，如下图所示：

数组中存在的相同的元素（同一个待排序的数字出现大于1次），我们使用不同的背景颜色来区分（红色背景表示第二次出现，靛青色表示第三次出现），如果一个元素只出现过一次，则我们就使用一种固定的颜色（浅绿色）表示。

根据数组元素个位数字将数组中元素映射到对应的桶中（bucket）

我们使用的是十进制，基数（Radix）自然是10，根据数组元素个位数的，应该映射到10个桶中，映射后的结果，如图所示：

在映射到桶的过程中，从左到右扫描原始数组。因为映射到同一个桶中的元素可能存在多个，最多为整个数组的长度，所以在同一个桶中，要保持进入桶中的元素的先后顺序（先进的排在左侧，后进的排在右侧）。

• 收集桶中元素，并在原始数组中原地替换，使数组中元素顺序重新分布

扫面前面已经映射到各个桶中的元素，满足这样的顺序：先扫描编号最小的桶，桶中如果存在多个元素，必须按照从左到右的顺序。这样，将得到的数组元素重新分布，得到一个元素位置重新分布的数组，如图所示：

这时，可以看到元素实际上是按照个位的数字进行了排序，但是基于整个元素来说并不是有序的。

• 根据数组元素十位数字将数组中元素映射到对应的桶中（bucket）

这次映射的原则和过程，与前面类似，不同的是，这次扫描的数组是经过个位数字处理重新分布后的新数组，映射后桶内的状态，如图所示：

• 收集桶中元素，并在原始数组中原地替换，使数组中元素顺序重新分布

和前面收集方法类似，得到的数组及其顺序，如图所示：

我们可以看到，经过两轮映射和收集过程，数组已经变成有序了，排序结束。

算法分析

• 时间复杂度

设待排序的数组R[1..n]，数组中最大的数是d位数，基数为r（如基数为10，即10进制，最大有10种可能，即最多需要10个桶来映射数组元素）。处理一位数，需要将数组元素映射到r个桶中，映射完成后还需要收集，相当于遍历数组一遍，最多元素书为n，则时间复杂度为O(n+r)。所以，总的时间复杂度为O(d*(n+r))。

• 空间复杂度

设待排序的数组R[1..n]，数组中最大的数是d位数，基数为r。基数排序过程中，用到一个计数器数组，长度为r，还用到一个r*n的二位数组来做为桶，所以空间复杂度为O(r*n)。

• 排序稳定性

通过上面的排序过程，我们可以看到，每一轮映射和收集操作，都保持从左到右的顺序进行，如果出现相同的元素，则保持他们在原始数组中的顺序。

可见，基数排序是一种稳定的排序。

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