2019 蓝桥杯省赛 A 组模拟赛（一）

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A阶乘位数

蒜头君对阶乘产生了兴趣，他列出了前 101010 个正整数的阶乘以及对应位数的表：

nnn	n!n!n!	位数
1	1	1
2	2	1
3	6	1
4	24	2
5	120	3
6	720	3
7	5040	4
8	40320	5
9	362880	6
10	3628800	7

对于蒜头君来说，再往后就很难计算了。他试图寻找阶乘位数的规律，但是失败了。现在请你帮他计算出第一个正整数的阶乘位数大于等于 100001000010000 的数是多少，即求最小的正整数 nnn 满足 n!n!n! 的位数大于等于 100001000010000。

思路:斯特灵公式，可以用来求阶乘位数，或者写一个循环。

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蒜头君在玩一个战争模拟游戏，他有高度为 1,2,3,…,n1,2,3,\ldots ,n1,2,3,…,n 的炮台各一个，他需要把这 nnn 个炮台从左往右排成一行，并且炮口都朝向右边。

在这个游戏中，所有炮台发射的炮弹会摧毁前方所有高度比自己低的炮台。每当蒜头君把 nnn 个炮台排成一行后，可能会有一些炮台被摧毁。举个例子：当前有 555 个炮台，从左到右高度分别为 2,1,3,5,42,1,3,5,42,1,3,5,4，往右发射炮弹后，高度为 444 的炮台被高度为 555 的摧毁，高度为 111 的炮台被高度为 222 的炮台摧毁，最后只会剩下 2,3,52,3,52,3,5 这三个炮台。

现在蒜头君想知道，如果随机地摆放这 nnn 个炮台，最后剩下炮台个数的期望是多少？比如 n=2n=2n=2 时，有两种摆放方式，高度序列分别为 1,21,21,2 和 2,12,12,1，前者最后剩下 222 个炮台，后者最后剩下一个炮台，因此期望为 (2+1)2=1.5000{(2+1)\over 2}=1.50002(2+1)​=1.5000。

请你求出 n=2019n=2019n=2019 时剩下炮台个数的期望，保留四位小数。

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无

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2019 蓝桥杯省赛 A 组模拟赛（一）

思路:写模拟写出n=2,3,4的情况，然后惊人的发现是1/1+1/2+1/3+...+1/n。后来看了大佬分析的我也没看懂，所以说遇事不决先打表，手动打表也行。haha