数论 HihoCoder1295 Eular质数筛法

#1295 : 数论二·Eular质数筛法

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描述

小Ho：小Hi，上次我学会了如何检测一个数是否是质数。于是我又有了一个新的问题，我如何去快速得求解[1,N]这个区间内素数的个数呢？

小Hi：你自己有什么想法么？

小Ho：有！我一开始的想法是，自然我们已经知道了如何快速判定一个数是否是质数，那么我就直接将[1,N]之间每一个数判定一次，就可以得到结果。但我发现这个方法太笨了。

小Hi：确实呢，虽然我们已经通过快速素数检测将每一次判定的时间复杂度降低，但是N个数字的话，总的时间复杂度依旧很高。

小Ho：是的，所以后来我改变了我的算法。我发现如果一个数p是质数的话，那么它的倍数一定都是质数。所以我建立了一个布尔类型的数组isPrime，初始化都为true。我从2开始枚举，当我找到一个isPrime[p]仍然为true时，可以确定p一定是一个质数。接着我再将N以内所有p的倍数全部设定为isPrime[p*i]=false。

写成伪代码为：

isPrime[] = true
primeCount = 0
For i = 2 .. N
	If isPrime[i] Then
		primeCount = primeCount + 1
		multiple = 2
		While (i * multiple ≤ N)
			isPrime[i * multiple] = false
			multiple = multiple + 1
		End While 
	End If
End For
  

小Hi：小Ho你用的这个算法叫做Eratosthenes筛法，是一种非常古老的质数筛选算法。其时间复杂度为O(n log log n)。但是这个算法有一个冗余的地方：比如合数10，在枚举2的时候我们判定了一次，在枚举5的时候我们又判定了一次。因此使得其时间复杂度比O(n)要高。

小Ho：那有没有什么办法可以避免啊？

小Hi：当然有了，一个改进的方法叫做Eular筛法，其时间复杂度是O(n)的。

提示：Eular质数筛法

输入

第1行：1个正整数n，表示数字的个数，2≤n≤1,000,000。

输出

第1行：1个整数，表示从1到n中质数的个数

样例输入

9

样例输出

4

 

质数的线性筛法：

bool型prime数组标记是否为质数，p[]数组动态记录质数，从小到大。

每个数都遍历一遍已经得到的质数（小于它的质数），2*3=6，3*2=6，这样子会重复，所以遍历到某个质数是当前数字的质因子时，便可跳出循环，（因为肯定有更大的数字j大于当前i，使该质数*j筛去i能筛去的数），能够使确保每个合数都是被它的最小质因数筛去。

代码实现：

void Eular()
{
	ans=0;
	memset(p,0,sizeof(p));
	for(int i=2;i<=n;++i) prime[i]=true;
	for(int i=2;i<=n;++i){
		if(prime[i])
			p[ans++]=i;
		for(int j=0;j

 

题目完整代码：

#include 
#include 

const int maxn=1000020;

int n;
bool prime[maxn];
int p[maxn],ans;

void Eular()
{
	ans=0;
	memset(p,0,sizeof(p));
	for(int i=2;i<=n;++i) prime[i]=true;
	for(int i=2;i<=n;++i){
		if(prime[i])
			p[ans++]=i;
		for(int j=0;j