算法题--最长回文子串 [LeetCode]

题目描述

  给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。

示例 1：

  输入: “babad”
  输出: “bab”
  注意: “aba” 也是一个有效答案。
示例 2：

  输入: “cbbd”
  输出: “bb”

题解

方法一：中心扩展算法
  中心扩展就是把给定的字符串的每一个字母或两个字母之间空隙当做中心，向两边扩展，这样来找

  长度为奇数的回文串，比如a, aba, abcba，以字母为中心
  长度为偶数的回文串，比如aa, abba，以两个字母之间空隙为中心

	public String longestPalindrome(String s) {

        if(null == s || s.length() <= 1){
            return s;
        }

        // 记录回文子串的开始位置
        int start =0;
        // 记录回文子串的结束位置
        int end = 0;

        for(int i=0; i end -start){
                start = i - (len - 1) / 2;
                end = i + len / 2;
            }
        }

        return s.substring(start,end+1);
    }

    /**
     * 找到以left和right为中心的最大回文串长度
     * @param s
     * @param left
     * @param right
     * @return
     */
    private int expandAroundCenter(String s, int left, int right) {
        while(left >=0 && right

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(n²)。
• 空间复杂度：O(1)。

方法二：动态规划
  在动态规划的思想中，总是希望把问题划分成相关联的子问题；然后从最基本的子问题出发来推导较大的子问题，直到所有的子问题都解决。

  假设字符串s的长度为length，建立一个length*length的矩阵dp。令 dp[i][j] 表示 S[i] 至 S[j] 所表示的子串是否是回文子串。

1. 当 i == j，dp[i][j] 是回文子串（单字符都是回文子串）；
2. 当 j - i < 3，只要 S[i] == S[j]，则 dp[i][j] 是回文子串（如"aa"，“aba”），否则不是；
3. 当 j - i >= 3，如果 S[i] == S[j] && dp[i+1][j-1] ，则 dp[i][j] 是回文子串，否则不是 。

  由此可以写出状态转移方程：

$$dp[i][j]=\{\begin{array}{ll}true,& i==j\\ S[i]==S[j],& j-i<3\\ S[i]==S[j]\&\&dp[i+1][j-1],& j-i>=3\end{array}$$
  需要注意的点是，因为要访问dp[i+1][j-1]，因此 i 是从大到小的，j是从小到大的。

	public String longestPalindrome2(String s) {

        if(null == s || s.length() <= 1){
            return s;
        }

        int len = s.length();
        boolean[][] dp = new boolean[len][len];
        int left = 0;
        int right = 0;

        for (int i = len - 1 ; i >= 0; i--) {
            // 将对角线（即i==j的情况）赋值为true
            dp[i][i] = true;
            for (int j = i+1; j < len; j++) {

                dp[i][j] = s.charAt(i) == s.charAt(j) &&( j-i<3||dp[i+1][j-1]);

                if(dp[i][j] && right-left

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(n²)。
• 空间复杂度：O(n²)。

方法三：Manacher（马拉车）算法
  Manacher算法，又叫“马拉车”算法，可以在时间复杂度为O(n)的情况下求解一个字符串的最长回文子串长度的问题。

1. 将初始字符串每个字符左右两边填充’#’(也可以是其它字符)，巧妙地解决对称数量奇偶的问题（如"aba"变成"#a#b#a#",“bb"变成”#b#b#",处理后的回文子串都是奇数）；
2. 遍历整个字符串，用一个数组来记录以该字符为中心的回文子串半径，并记录已经扩展到的右边界；
3. 每一次遍历的时候，如果该字符在已知回文串最右边界的覆盖下，那么就计算其相对最右边界回文串中心对称的位置，得出已知回文串的长度；
4. 判断该长度和右边界，如果达到了右边界，那么需要继续进行中心扩展探索。当然，如果第3步该字符没有在最右边界的“羽翼”下，则直接进行中心扩展探索。进行中心扩展探索的时候，同时又更新右边界；
5. 最后得到最长回文子串之后，去掉其中的特殊符号即可。

	/**
     * 马拉车算法
     * @param s
     * @return
     */
    public String longestPalindrome3(String s) {
        // 先预处理字符串
        String str = preHandleString(s);
        // 处理后的字串长度
        int len = str.length();
        // 右边界
        int rightSide = 0;
        // 右边界对应的回文串中心
        int rightSideCenter = 0;
        // 保存以每个字符为中心的回文长度一半（向下取整）
        int[] halfLenArr = new int[len];
        // 记录回文中心
        int center = 0;
        // 记录最长回文长度
        int longestHalf = 0;
        for(int i = 0; i < len; i++) {
            // 是否需要中心扩展
            boolean needCalc = true;
            // 如果在右边界的覆盖之内
            if(rightSide > i) {
                // 计算相对rightSideCenter的对称位置
                int leftCenter = 2 * rightSideCenter - i;
                // 根据回文性质得到的结论
                halfLenArr[i] = halfLenArr[leftCenter];
                // 如果超过了右边界，进行调整
                if(i + halfLenArr[i] > rightSide) {
                    halfLenArr[i] = rightSide - i;
                }
                // 如果根据已知条件计算得出的最长回文小于右边界，则不需要扩展了
                if(i + halfLenArr[leftCenter] < rightSide) {
                    // 直接推出结论
                    needCalc = false;
                }
            }
            // 中心扩展
            if(needCalc) {
                while(i - 1 - halfLenArr[i] >= 0 && i + 1 + halfLenArr[i] < len) {
                    if(str.charAt(i + 1 + halfLenArr[i]) == str.charAt(i - 1 - halfLenArr[i])) {
                        halfLenArr[i]++;
                    } else {
                        break;
                    }
                }
                // 更新右边界及中心
                rightSide = i + halfLenArr[i];
                rightSideCenter = i;
                // 记录最长回文串
                if(halfLenArr[i] > longestHalf) {
                    center = i;
                    longestHalf = halfLenArr[i];
                }
            }
        }
        // 去掉之前添加的#
        StringBuffer sb = new StringBuffer();
        for(int i = center - longestHalf + 1; i <= center + longestHalf; i += 2) {
            sb.append(str.charAt(i));
        }
        return sb.toString();
    }

    // 预处理字符串，在两个字符之间加上#
    private String preHandleString(String s) {
        StringBuffer sb = new StringBuffer();
        int len = s.length();
        sb.append('#');
        for(int i = 0; i < len; i++) {
            sb.append(s.charAt(i));
            sb.append('#');
        }
        return sb.toString();
    }

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(n)，这个算法在循环的时候，要么扩展右边界，要么直接得出结论，时间复杂度可以到O(n)。
• 空间复杂度：O(n)。

马拉车算法理解起来有点难，这里给出几个比较好的链接，有兴趣的可以学习下：
Manacher 算法解析
如何找到字符串中的最长回文子串？

题目地址：https://leetcode-cn.com/problems/longest-palindromic-substring/