莫比乌斯反演

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特别感谢：吉大附中实验学校PoPoQQQ童鞋制作的ppt

定义

反演

已知函数F(x)是可以通过f(x)变换而来的，现在求f(x)通过F(x)的变换。
这样的逆变换称之为 反演 。
举个栗子， F(x)=f(x)2 ，则 f(x)=±F(x)−−−−√

莫比乌斯反演

规定了F(x)到f(x)的变换关系，然后求逆变换。已知

F(x)=∑d∣xf(d)

则

f(x)=∑d∣xμ(d)F(xd)

其中 μ(d) 可以当作是一个运算符，也被称为 莫比乌斯函数 。

μ(d)=⎧⎩⎨1(−1)r0d = 1d=p1p2...pr,其中pi为不同的素数else

可以先给一个例子直观地感受一下这个变换：

F(1)=f(1)F(2)=f(1)+f(2)F(3)=f(1)+f(3)F(4)=f(1)+f(2)+f(4)F(5)=f(1)+f(5)F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)F(7)=f(1)+f(7)F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8)...

则可以推出

f(1)=F(1)f(2)=F(2)−F(1)f(3)=F(3)−F(1)f(4)=F(4)−F(2)f(5)=F(5)−F(1)f(6)=F(6)−F(3)−F(2)+F(1)f(7)=F(7)−F(1)f(8)=F(8)−F(4)...

μ(d)相当于代替了F(d) 前面的符号位,甚至可以是0，表示不需要此项。

另一种形式

莫比乌斯公式还有一种常用的形式较为常用：
当 F(d)=∑d∣xf(x) ，则 f(d)=∑d∣xμ(xd)F(x)
x应该有个范围的~

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证明

已知 F(x)=∑d∣xf(d) ，求证 f(x)=∑d∣xμ(d)F(xd)

证明： ∑d∣xμ(d)F(xd)=∑d∣x[μ(d)∑k∣xdf(k)]=∑k∣x[f(k)∑d∣xkμ(d)]=f(x)
详细证明见莫比乌斯函数的证明

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性质

1. μ(x) 是积性函数。
   其实x必须是无素数因子的平方项时才可行。

2. ∑d∣xμ(d)={1,0,x=1x>1
   证明x>1时的情况：当x的素因子有r个时，从r个里面选取k个乘积为d， ∑d∣xμ(d)=C0x+C1x(−1)1+C2x(−1)2...+Cxx(−1)x=(1−1)x=0

3. ∑d∣xμ(d)d=ϕ(x)x
   看起来是个诡异的性质，实际就是将 F(x)=x,f(x)=ϕ(x) 代入其中。当然，前提是 n=∑d∣nϕ(d) 欧拉函数性质4给出了证明。

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应用

线性筛法

int mobi[N]={0,1}, num[N], prim[N], cnt = 0;
void set()
{
    for(int i = 0;i < N;i++) num[i] = 1;
    for(int i = 2;i < N;i++)
    {
        if(num[i])
        {
            prim[cnt++] = i;
            mobi[i] = -1;
        }
        for(int j = 0;j < cnt && prim[j]*i < N;j++)
        {
            num[prim[j]*i] = 0;
            if(i % prim[j] == 0)
            {
                mobi[prim[j]*i] = 0;
                break;
            }
            mobi[prim[j]*i] = -mobi[i];
        }
    }
}