平衡二叉树（AVL树）

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一、定义

平衡二叉树，又称AVL树，它是一种特殊的二叉排序树。AVL树或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：

（1）左子树和右子树都是平衡二叉树；

（2）左子树和右子树的深度（高度）之差的绝对值不超过1。

二、旋转

在进行插入和删除之前需要先了解AVL树的旋转操作。旋转操作主要包括LL（左左）旋转、LR（左右）旋转、RR（右右）旋转、RL（右左）旋转，LL旋转与RR旋转对称，LR旋转与RL旋转对称。旋转操作是在插入结点或删除结点导致原AVL树不平衡时进行的。我的理解是当二叉树失衡的原因出现在“最低失衡根结点左子树的左子树”（所谓“最低失衡根结点”，则是从新增结点开始向根部回溯，所遇到的第一个失衡的根节点）时，则使用LL旋转来调整；当失衡出现在“最低失衡根节点左子树的右子树”，则使用LR旋转调整；RR旋转，RL旋转同理。

2.1、LL旋转

如上图所示，找到“最低失衡根结点”，上图是结点5，二叉树失衡的原因是因为结点1的存在，而结点1位于结点5“左子树的左子树”，所以要使用LL旋转来调节，只需一次旋转即可达到平衡。具体的方法是：LL旋转的对象是“最低失衡根结点”，也就是结点5，找到5的左孩子3，将3的右孩子4变成5的左孩子，最后将5变成3的右孩子，调整后的AVL树如下所示：

2.2、RR旋转

RR旋转与LL旋转对称。

如上图所示，“最低失衡根结点”是结点2，二叉树的失衡是结点6导致的，而结点6位于结点2“右子树的右子树”，所以要使用RR旋转来调节，只需一次旋转即可达到平衡。方法与LL旋转类似：RR旋转的对象是“最低失衡根结点”，这里是结点2，找到2的右孩子4，将4的左孩子3变成2的右孩子，最后将2变成4的右孩子，旋转后的结果如下图所示：

2.3、LR旋转

LL旋转和RR旋转只需一次旋转即可达到平衡，而LR旋转和RL旋转需两次旋转才能达到平衡。

如上图所示，“最低失衡根结点”为结点5，二叉树失衡是因为结点3的存在，结点3位于结点5“左子树的右子树”，所以使用LR旋转来调节。方法：（1）先对最低失衡根结点的左孩子（结点2）进行RR旋转；（2）再对最低失衡根结点（结点5）进行LL旋转。下图演示了调整过程。

2.4、RL旋转

RL旋转与LR旋转对称，先LL旋转，在RR旋转。

分析过程与LR相似。旋转步骤：（1）先对最低失衡结点右孩子（结点5）LL旋转；（2）在对最低失衡结点（结点2）RR旋转。旋转过程如下：