机器学习 cs229学习笔记4 (EM for factor analysis & PCA(Principal components analysis))

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EM FOR FACTOR ANALYSIS

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通过cs229学习笔记3 (EM alogrithm,Mixture of Gaussians revisited & Factor analysis )最后的推导

我们得到了factor analysis model的似然公式:


下面将通过EM算法最大化似然函数:

E-step: 

     我们知道

     通过之前多元高斯分布的条件概率我们可以得到

     机器学习 cs229学习笔记4 (EM for factor analysis & PCA(Principal components analysis))_第1张图片

     再将u和Sigma 带回到多元高斯分布的公式里,得到:

    

M-step:


这里我们需要maximize的部分是:(其中的∫……d(z(i))相当于离散数据中的求和符号)


因为p(x(i),z(i))=p( x(i) | z(i) )*p(z(i)) ,所以上式可以化作:(用log函数的性质)



将Qi(z(i))看作是z(i)的概率密度函数,那么积分符号和Qi合起来就是期望的表达式,即上式为:

                          

应为p(z(i))和Qi(z(i))是由已经固定了的高斯分布决定的,所以中括号内的后两项与我们关心的三个参数无关,可以直接省略。

再因为factor analysis的定义,,所以p(x(i) | z(i))=N(μ+∧z,Ψ),这是多元高斯分布的性质,详细请参看多元高斯分布

所以上式等于:

再用log的性质将公式化简,然后直接使用最大似然估计,就可以得到M-step的参数更新公式了:

机器学习 cs229学习笔记4 (EM for factor analysis & PCA(Principal components analysis))_第2张图片

提醒一句:Ψ是对角矩阵

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Principal components analysis (PCA)

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这是一个用于降维的算法,先前在coursera上也提到过,至于有什么用处,我们先给出具体的算法吧

在执行PCA之前一般需要将各个参数scalling,使它们的量级相同

机器学习 cs229学习笔记4 (EM for factor analysis & PCA(Principal components analysis))_第3张图片

大概就是求出平均值,减去平均值,求出方差,除以方差,这样所有参数都在相同的scale上了

然后找到一个响亮,使得所有样例投影到该向量上的距离最短

也就是说:我们需要使下式最大化:


括号内的内容是x(i)映射在u向量上的大小,得到u之后选取前k个u就可以将x降维到k维。

机器学习 cs229学习笔记4 (EM for factor analysis & PCA(Principal components analysis))_第4张图片

注意u是与红色线相垂直的向量,所以最大化上式也就是最小化点到直线的垂直距离

展示图片是2D-1D,蓝色为原数据点,红色为映射点。可以看出这种方法对数据是有影响的,但是只要在限定范围内,这种影响是可以接受的。

PCA的应用:

1.visualization

  将数据降低到2D或者3D使其可视化

2.compression

  压缩数据

3.Learning

  在learning的过程中可能因为维度过高使其速度变慢,可以用PCA加速,而且实际效果不错

4.anomaly detection

  判断异常,看新点距离子空间是否很大

5.matching/distance calculation

  计算两个样例的距离时不一定是用欧氏距离,而是使用低维中得距离,这样更符合实际,特别是在图像识别中

实例:

  下面是一些人脸图片:

  机器学习 cs229学习笔记4 (EM for factor analysis & PCA(Principal components analysis))_第5张图片

上面的图片维度可能较高,比如说100*100,经过PCA之后,可能只是25*25,甚至更低,但仍然很好地捕捉了人脸的形状

在使用pca之后,


  机器学习 cs229学习笔记4 (EM for factor analysis & PCA(Principal components analysis))_第6张图片

注意:上面每张图片是单独的一个ui的表示,可以看出还是不错地捕捉了人脸的形状

机器学习 cs229学习笔记4 (EM for factor analysis & PCA(Principal components analysis))_第7张图片

上面这张图是经过PCA降维后再还原为原维度的图片,可以发现图片虽然有失真,但是失得不多,还是很好的展示了原图像



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