关于数论向上取整和向下取整知识整理

关于向上取整和向下取整知识整理

向下取整函数$f(x)=\lfloor x\rfloor$ 是单调递增的 ，向上取整函数$f(x)=\lceil x\rceil$也是单调递增的。

对任意整数n，

$$\lceil \frac{n}{2}\rceil +\lfloor \frac{n}{2}\rfloor =n$$

$$\lceil \frac{n}{b}\rceil =\lfloor \frac{n+b-1}{b}\rfloor$$

对任意 实数$x\ge 0$和整数$a,b>0$

$$\lceil \frac{\lceil x/a\rceil }{b}\rceil =\lceil \frac{x}{ab}\rceil$$

$$\lceil \frac{\lceil x/a\rceil }{b}\rceil =\lceil \frac{x}{ab}\rceil$$

$$\lceil \frac{a}{b}\rceil \le \frac{a+b-1}{b}$$

以上参考《算法导论》第三版

令$f_n(x)=\lceil \frac{n}{x}\rceil ,x\in [1,n]$，那么$f_n(x)$的结果有$O(\sqrt{n})$种，取法如下：

1. 令$i=n$
2. 令$last=\lceil \frac{n}{\lceil n/i\rceil }\rceil$ ，那么$\lceil \frac{n}{i}\rceil$ 是一个解，且该解对应的最小整数$last$满足$f(last)=\lceil \frac{n}{i}\rceil$
3. 令$i=last-1$，如果$i>0$返回第二步

代码表示：

int cdiv(int a,int b)// a/b的向上取整
{
    return (a+b-1)/b;
}
void work(int n)
{
    int tol=0;
    for(int i=n,last;i>0;i=last-1,tol++)
    {
        cout<<"f(x):"<<cdiv(n,i)<<endl;//print the solutions
        last=cdiv(n,cdiv(n,i));
    }
    cout<<"The number of solutions :"<<tol<<endl;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    work(n);
}

令$f_n(x)=\lfloor \frac{n}{x}\rfloor ,x\in [1,n]$，那么$f_n(x)$的结果有$O(\sqrt{n})$种，取法如下：

1. 令$i=1$
2. 令$last=\lfloor \frac{n}{\lfloor n/i\rfloor }\rfloor$，那么$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 是一个解，且该解对应的最大整数$last$满足$f(last)=\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$
3. 令$i=last+1$，如果$i<=n$，则返回第二步

代码表示：

int fdiv(int a,int b)
{
    return a/b;
}
void work(int n)
{
    int tol=0;
    for(int i=1,last;i<=n;i=last+1,tol++)
    {
        cout<<"f(x):"<<fdiv(n,i)<<endl;//print the solutions
        last=fdiv(n,fdiv(n,i));
    }
    cout<<"The number of solutions :"<<tol<<endl;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    work(n);
}