取模运算总结 - 数论

引入

• 编程竞赛有相当一部分题目的结果过于庞大，整数类型无法存储，往往只要求输出取模的结果。
• 例如(a+b)%p,若a+b的结果我们存储不了，再去取模，结果显然不对，我们为了防止溢出，可以先分别对a取模,b取模，再求和，输出的结果相同。
• a mod b表示a除以b的余数。有下面的公式：
  
  • (a + b) % p = (a%p + b%p) %p
  • (a - b) % p = ((a%p - b%p) + p) %p
  • (a * b) % p = (a%p)*(b%p) %p
• 注意对于除法取模，我们不能直接分别取模了，详见逆元。

快速幂取模

typedef long long LL;
LL pow_mod(LL a,LL b,LL p){//快速幂取模
    LL ans=1,base=a;
    while(b>0){
        if(b&1) //n%2==1
            ans=ans*base%p;
        base=base*base%p;
        b>>=1;// b/=2
    }
    return ans;
}

快速乘法取模

• 当我们计算a*b%mod的时候，往往较大的数计算a＊b会超出数据的范围，这个时候使用快速乘法方法能解决上述问题．
• 快速乘法的原理是把数分解为多项式相加。举个例子：
  30*14 = 30*(1110)2 = 30*(2^3)1+30(2^2)1+30(2^1)1+30(2^0)*0=240+120+60=420

typedef long long LL;
LL q_mul(LL a, LL b, LL p){//快速乘法取模
    LL ans = 0;
    while (b){
        if(b&1LL) ans=(ans+a)%p;
        //or ans=(ans+(b%2*a)%p)%p;
        a = (a +a) % p;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

逆元/数论的倒数 - 对于倒数取模运算用逆元

逆元概念引入

(a + b) % p = (a%p + b%p) %p （对）
(a - b) % p = (a%p - b%p) %p （对）
(a * b) % p = (a%p * b%p) %p （对）
(a / b) % p = (a%p / b%p) %p （错）
对于除法取模不能这样，例如(100/50)%20 = 2 ≠ (100%20) / (50%20) %20 = 0
对于一些题目，我们必须在中间过程中进行求余，否则数字太大，电脑存不下，那如果这个算式中出现除法，我们是不是对这个算式就无法计算了呢？
这时就需要逆元了
a*inv(a)=1
又对于a*b=1(mod p) b不一定是a的倒数，但是如果求余，我们可以把b看作a的倒数，并称b叫做a关于p的逆元。记b=inv（a）。
前提条件a和p互质，a才有关于p的逆元
那么对于除法取模我们就好解决了。
(a / b) % p = (a * inv(a) ) % p = (a % p * inv(a) % p) % p

具体实现

费马小定理

定理内容，如果p为质数，gcd(a,p)=1，那么a^(p-1) ≡1 (mod p)
- a^(p-2) ≡1/a (mod p)
a^(p-2) ≡ inv(a) (mod p)
inv(a) = a^(p-2) (mod p)
- 时间复杂度为O(logn)

typedef long long LL;
LL fermat(LL a,LL p)//费马求a关于b的逆元
{
    return pow_mod(a,p-2,p);
}

扩展欧几里德算法

公式a∗x+b∗y=gcd(a,b) 。
若a，b互质且有解，则有a∗x+b∗y=1。
当我们要求a关于b的逆元，我们可以这样看。
a*x % b + b*y % b = 1 % b
a*x % b = 1 % b
a*x = 1 (mod b)
可见，扩展欧几里德算法可以实现逆元。

typedef long long LL;
void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){//扩展欧几里德
    if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
    else{
        ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
        y -= x * (a / b);
    }
}
LL inv(LL t, LL p){//如果不存在，返回-1
    LL d, x, y;
    ex_gcd(t, p, x, y, d);
    return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
}

例题

hdu-1576-A/B