hdu - GCD -欧拉函数 & GCD原理 - 数论

题目描述

The greatest common divisor GCD(a,b) of two positive integers a and b,sometimes written (a,b),is the largest divisor common to a and b,For example,(1,2)=1,(12,18)=6.
(a,b) can be easily found by the Euclidean algorithm. Now Carp is considering a little more difficult problem:
Given integers N and M, how many integer X satisfies 1<=X<=N and (X,N)>=M.

输入

The first line of input is an integer T(T<=100) representing the number of test cases. The following T lines each contains two numbers N and M (2<=N<=1000000000, 1<=M<=N), representing a test case.

输出

For each test case,output the answer on a single line.

样例输入

3
1 1
10 2
10000 72

样例输出

1
6
260

补充知识 - GCD原理

• 如果GCD(a,b)=c，则可以知道GCD(a/c,b/c)=1;( GCD(a,b)=c <=> GCD(a/c,b/c)=1 )
• 设GCD(a,b)=c，如果想要GCD(a,b*d)=c，由上可知，只需满足GCD(a/c,(b/c)*d)=1即可（这个限制既为,满足最大公约数的要求）.

题解

• 先分析GCD(N,X)≡c，我们可以转化为GCD(N/c,X/c)=1，即互质个数。
• 当M=1时，直接调用欧拉函数Euler。
• 当M≥2时，因为GCD(N,X)=c，其中c≥M，X∈[1，N]，由上GCD原理知，只要GCD（N/c,X/c）=1即可，而我们知道GCD(N,X)=c，c是最大公约数其实就是N的所有因子。
• 所以我们只要枚举一遍大于等于M的N的因子c，对euler（c）累加和即可。
• 举个例子：N=12，M=3。N大于等于3的因子有3、4、6、12。根据刚刚说的，我们要求c=3、4、6、12，即可转化为GCD(N/c,X/c)=1互质个数。好了，看代码。

#include
#include
#include
using namespace std;

int Euler(int n)
{//欧拉函数
    int m=sqrt(n+0.5);
    int res=n;
    for(int i=2;i<=m;i++){
        if(n%i==0){
            res=res/i*(i-1);
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n>1) res=res/n*(n-1);
    return res;
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int N,M;
        scanf("%d%d",&N,&M);
        int ans=0;
        for(int i=1;i*i<=N;i++){
            if(N%i==0){
                if(i>=M) ans+=Euler(N/i);
                if(N/i>=M&&N/i!=i) ans+=Euler(i);
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
}