Deepgener生信教程《生信中的统计基础》——抽样分布②

Deepgener生信教程《生信中的统计基础》——抽样分布②

介绍：

本次课程接着上一次课程接着介绍单个样本方差的抽样分布以及两个样本的抽样分布。统计学的核心是用样本推断总体，用样本的特点去概括总体的特点。本文对${\chi }^2$分布简要做一个概述，并依据${\chi }^2$分布得出样本方差的抽样分布，分析方法如下图所示。然后从一个样本推广至两个样本进行抽样分布分析。

1. ${\chi }^2$分布

设 $Z_1$，$Z_2$ ，…$Z_n$， 相互独立且都为标准正态随机变量，则变量 服从自由度为n的${\chi }^2$ 分布。${\chi }^2$ 具有可加性，其与自由度的关系可表现为：$S^2=Z_1^2+Z_2^2+...Z_n^2$。若 $Y$ ~ ${\chi }^2(n)$、$Z$ ~ ${\chi }^2(m)$ ，且相互独立，则 $Y+Z$ ~ ${\chi }^2(n+m)$。

2. 单样本方差抽样分布

样本方差的抽样分布是在重复选取容量为n的样本时，由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布。对于来自正态总体的简单随机样本，其标准化式子服从自由度为n-1的${\chi }^2$分布。

其上侧分位数与概率的关系可以查阅 ${\chi }^2$分布表。（百度即可）

3. 两个样本均值的抽样分布

设存在两个服从正态分布的总体 $X1$~$N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$, $X2$~$N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$

(1) 两个样本均值之差的抽样分布

样本均值之差的抽样分布服从正态分布，其数学期望为两个总体均值的差，方差为各自方差的和。

(2) 两个样本均值之和的抽样分布

样本均值之和的抽样分布服从正态分布，其数学期望为两个总体均值的和，方差为各自方差的和。

4. 两个样本方差之比的抽样分布与F分布、

若 $Y$ ~ ${\chi }^2(n)$、$Z$ ~ ${\chi }^2(m)$ 、$X=\frac{Y/n}{Z/m}$ ，则称X服从自由度为n和m的F分布，记为：

通过数学家的演算证明，两个样本方差之比的抽样分布与自由度有如下关系：设存在两个服从正态分布的总体 $X1$~$N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$, $X2$~$N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$

课程预告：进行统计推断基础的介绍，并对前两次课“抽样分布”部分举例题进行讲解，深化理解。

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