fft-原理与Matlab函数

快速傅里叶变换（Fast Fourier transform，FFT）

利用离散傅里叶变换（DTF）算法进行运算时，复数乘法运行次，复数加法运行次，计算量其实可以通过fft减小。1965年，首先由Cooley-Tukey提出了基－2FFT算法，对DFT的发展起到了极大推进作用。随后又出现了混合基算法。fft 是一种计算DTF的快速算法，利用因子的周期性、共轭对称性、可约性。

 

1、fft算法主要有以下3种

时域抽取基-2FFT算法（Decimation -In- Time，DIT-FFT）

频域抽取基-2FFT算法（Decimation-In-Freqency，DIF-FFT）

序列长度N可表示为合数的FFT 算法（混合基）

 

2、fft函数

（matlab说明文档：https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/fft.html?searchHighlight=fft&s_tid=doc_srchtitle）

Y = fft(X)
Y = fft(X,n)
Y = fft(X,n,dim)

 

2.1 Y = fft(X) ——用快速傅里叶变换 (FFT) 算法计算 X 的离散傅里叶变换 (DFT)。

如果 X 是向量，则 fft(X) 返回该向量的傅里叶变换。

如果 X 是矩阵，则 fft(X) 将 X 的各列视为向量，并返回每列的傅里叶变换。

如果 X 是一个多维数组，则 fft(X) 将沿大小不等于 1 的第一个数组维度的值视为向量，并返回每个向量的傅里叶变换。

 

2.2 Y = fft(X,n) ——返回 n 点 DFT。如果未指定任何值，则 Y 的大小与 X 相同。

如果 X 是向量且 X 的长度小于 n，则为 X 补上尾零以达到长度 n。

如果 X 是向量且 X 的长度大于 n，则对 X 进行截断以达到长度 n。

如果 X 是矩阵，则每列的处理与在向量情况下相同。

如果 X 为多维数组，则大小不等于 1 的第一个数组维度的处理与在向量情况下相同。

 

2.3 Y = fft(X,n,dim) ——返回沿维度 dim 的傅里叶变换。

如果 X 是矩阵，则 fft(X,n,2) 返回每行的 n 点傅里叶变换。

 

具体的示例都在官方文档中，这里说说fft函数的特点：

1.  函数fft返回值的数据结构具有对称性

根据采样定理，fft能分辨的最高频率为采样频率的一半（即Nyquist频率），函数fft返回值是以Nyqusit频率为轴对称的，Y的前一半与后一半是复数共轭关系，信息其实是重复的。所以，如果进行N点的fft，实际上有用的点数为n+1点（N为奇数或者偶数的情况下有用的点数均相同）。

Fn = （n-1）* Fs /N

Fn是第n点所表示的真实频率值。当然，n只取前一半的点就足够了。这样，可以达到的频率分辨率即为Fs/N。

2.  幅值

作FFT分析时，幅值大小与输入点数有关，要得到真实的幅值大小，需要将变换后的结果除以N。且由于零频在双边谱中本没有被一分为二，所以对于零频外的点还有乘以2，得到的才是真实的频率幅值。

Y = fft(X);     % X为信号
P2 = abs(Y/L);  % 计算双侧频谱 P2
P1 = L*P2(1:L/2+1);             % 将P2的前半段信号赋给P1，P1即是我们关心的部分
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);  % 将除零频外的信号乘以2

3.  基频

​若分析数据时长为T，则分析结果的基频就是f0=1/T，分析结果的频率序列为[0:N-1]*f0

4.  执行N点FFT

在调用格式 2.2 中，函数执行N点FFT。若y为向量且长度小于N，则函数将y补零至长度N，若向量y的长度大于N，则函数截断y使之长度为N。由于fft算法的本质，对于N的选取一般为大于序列长度点数的最小2的幂次方，这样能改善 fft 的计算性能。

N = 2^nextpow2(L);    % 将高斯脉冲转换为频域
Y = fft(X,N);

而如果未制定进行fft的点数N，默认产生的结果为N点，默认进行的fft便是基于混合基来进行计算的，性能当然不会优于基2。

3、fftshift函数

官方文档：

https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/fftshift.html

fftshift的功能是将零频分量移到频谱中心。怎么理解这句话呢？fft计算得到的频域信号的频率区间是0~Fs（Fs是采样频率）的，且关于Fs/2对称。称0~FS为数字频率，对应模拟角频。但是我们只关心区间，fftshift函数的功能就是将fft处理之后的部分搬移至，从而使零频分量居于频谱的中心位置。

 

Y = fftshift(X) 通过将零频分量移动到数组中心，重新排列傅里叶变换 X。

如果 X 是向量，则 fftshift 会将 X 的左右两半部分进行交换。

如果 X 是矩阵，则 fftshift 会将 X 的第一象限与第三象限交换，将第二象限与第四象限交换。

如果 X 是多维数组，则 fftshift 会沿每个维度交换 X 的半空间。

 

Y = fftshift(X,dim) 沿 X 的维度 dim 执行运算。例如，如果 X 是矩阵，其行表示多个一维变换，则 fftshift(X,2) 会将 X 的每一行的左右两半部分进行交换。

注意：fftshift 没有fft的功能，是在 fft 之后进行的（有需要的话）。

运行代码：

% fftshift
fs = 100;               % sampling frequency
t = 0:(1/fs):(10-1/fs); % time vector
S = cos(2*pi*15*t);
n = length(S);
X = fft(S);
f = (0:n-1)*(fs/n);     %frequency range
power = abs(X).^2/n;    %power
subplot(121);
plot(f,power)
xlabel('f');

Y = fftshift(X);
fshift = (-n/2:n/2-1)*(fs/n); % zero-centered frequency range
powershift = abs(Y).^2/n;     % zero-centered power
subplot(122);
plot(fshift,powershift)
xlabel('f');

得到如下的结果：