匈牙利算法——最大匹配问题详解

  2017年中兴提前批校招，就考了一题匈牙利算法。

  匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

  先了解一些概念性的东西吧。

 1.二分图
  设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。一个二分图的例子：

                       
  2.最大匹配&完美匹配
  在图论中，一个“匹配”（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。
  最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。
  完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。
  3.交替路&增广路
  交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边...形成的路径叫交替路。
  增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路。
  注意：把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去，并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除（这个操作称为增广路径的取反），则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。
  4.思想与算法
  思想：看这么一个例子，把左边1，2，3，4和右边a,b,c,d来进行匹配
                     
  一开始我们给1分配a,1和a之间连上红线表示建立匹配。
                     
  然后接着给2分配b,2和b连上红线表示匹配。
                       
  紧接着给3分配，这时候发现a,b已经都有所属了，我们尝试给1重新分配，把原来的分配拆掉，用蓝线表示。
                       
  但是很快我们发现1重新分配不了，b已经有所属，那么继续尝试给2重新分配，把原来的分配拆掉，用蓝线表示。2重新分配到c,用红线表示。
                       
  这个时候，1可以重新分配到b,用红线表示。
                       
  最后，3就可以分配到a,用红线表示。

                         
  对于4，由于c已经被分配，而且尝试给其他1，2，3重新分配无法实现，就此结束。基本原则就是在原有匹配基础上重新分配，看是否可以添加一个新的匹配。

  下面，以一个相亲的例子来具体说明一下（这个例子转载于http://blog.csdn.net/dark_scope/article/details/8880547）

  通过数代人的努力，你终于赶上了剩男剩女的大潮，假设你是一位光荣的新世纪媒人，在你的手上有N个剩男，M个剩女，每个人都可能对多名异性有好感（-_-||暂时不考虑特殊的性取向），如果一对男女互有好感，那么你就可以把这一对撮合在一起，现在让我们无视掉所有的单相思（好忧伤的感觉），你拥有的大概就是下面这样一张关系图，每一条连线都表示互有好感。

                     

  本着救人一命，胜造七级浮屠的原则，你想要尽可能地撮合更多的情侣，匈牙利算法的工作模式会教你这样做：

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一： 先试着给1号男生找妹子，发现第一个和他相连的1号女生还名花无主，got it，连上一条蓝线

                 

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二：接着给2号男生找妹子，发现第一个和他相连的2号女生名花无主，got it

                 

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三：接下来是3号男生，很遗憾1号女生已经有主了，怎么办呢？

我们试着给之前1号女生匹配的男生（也就是1号男生）另外分配一个妹子。

(黄色表示这条边被临时拆掉)

                   

  与1号男生相连的第二个女生是2号女生，但是2号女生也有主了，怎么办呢？我们再试着给2号女生的原配()重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的，这是一个递归的过程)

                       

此时发现2号男生还能找到3号女生，那么之前的问题迎刃而解了，回溯回去

2号男生可以找3号妹子~~~                  1号男生可以找2号妹子了~~~                3号男生可以找1号妹子

   

所以第三步最后的结果就是：

                     

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四： 接下来是4号男生，很遗憾，按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子，我们实在是无能为力了……香吉士同学走好。

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这就是匈牙利算法的流程，其中找妹子是个递归的过程，最最关键的字就是“腾”字

其原则大概是：有机会上，没机会创造机会也要上

【code】

 bool find(int x){
     int i,j;
     for (j=1;j<=m;j++){    //扫描每个妹子
         if (line[x][j]==true && used[j]==false)
         //如果有暧昧并且还没有标记过(这里标记的意思是这次查找曾试图改变过该妹子的归属问题，但是没有成功，所以就不用瞎费工夫了）
         {
             used[j]=1;
             if (girl[j]==0 || find(girl[j])) {
                 //名花无主或者能腾出个位置来，这里使用递归
                 girl[j]=x;
                 return true;
             }
         }
     }
     return false;
 }

在主程序我们这样做：每一步相当于我们上面描述的一二三四中的一步

 for (i=1;i<=n;i++)
 {
     memset(used,0,sizeof(used));    //这个在每一步中清空
     if find(i) all+=1;
 }