顶点法向量的矩阵变换

本文参考 Introduction to 3D Game Programming with DirectX 11

在计算机图形学中法向量的变化跟一般顶点的变化有一定的区别，假设我们有一个切向量$u=v_1-v_0$，$u$与法向量$n$垂直。如果我们使用一个矩阵$A$来进行非均匀缩放，我们可以在下图中看到由图(a)到图(b)，变换后的切向量$uA=v_{1}A-v_{0}A$与变换后的法向量$nA$并不垂直。
所以我们的问题就是，给一个变换矩阵A，这个矩阵用来变换顶点和法向量，我们将找到一个变换矩阵B，使得用B变换后的法向量能够与变换后的切向量垂直，$(uA\cdot nB=0)$。我们将使用下面的方法推导出转换公式:

KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ u \cdot n & =u…

这里$B=(A^{-1}{)}^T$($A$的逆反矩阵)能够让法向量垂直于变换后的切向量$uA$。而$A$的逆矩阵$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}{A}^{\ast }$
使用directx实现代码如下:

static XMMATRIX InverseTranspose(CXMMATRIX M)
{
	XMMATRIX A = M;
	A.r[3] = XMVectorSet(0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);
	XMVECTOR det = XMMatrixDeterminant(A);
	return XMMatrixTranspose(XMMatrixInverse(&det, A));
}