近似算法作业

近似算法作业

 

P30

题目：证明G中的最大团size为α 等价于 Gm中最大团size为mα。

证明：充分性：若G中最大团size为α，根据Gm的构造过程，Gm中至少有存在一个size为mα的团。首先Gm中的最大团不可能小于mα，如果小于小于mα则说明，构成Gm最大团，每个G贡献了少于α的结点，这种情况是不可能的，因为存在

 

每个G贡献α个结点的解法。其次，假设Gm中的最大团size大于mα，那么构成Gm的最大团，每个G贡献的结点数大于α，不妨设为β，则在图G中，存在可以相互连接的β个顶点构成一个团，则图G的最大团的size为β，这与图G的最大团size为α的题设矛盾。所以Gm中最大团的size是mα。

必要性：Gm中的最大团size为mα，那么构成Gm的每个G贡献了α个结点，假如每个图G可以贡献β个结点，，其中β>α，则Gm中的最大团结点个数为mβ，这与Gm中的最大团size为mα矛盾，所以图G的最大团size为α。证毕。

P41

题目：证明当最优调度在任何机器上之多包含2个作业时，LPT也是最优的。

证明：不妨设n=2m，若n<2m，则令Jn+1,…,J2m的时间为0，将其加入I，不妨设P1≥P2≥…≥P2m。设最优调度使得每台机器恰有2个作业：Ji和Jj，则必有im。否则若某最优调度O有i,j≤m，则定有某台机器上有Js,Jt，使得s,t>m。

∵Pi,Pj≥Ps,Pt，交换Pj和Pt，则

Pi+Pt≤Pi+Pj  Ps+Pj≤Pi+Pj，交换后的调度O‘的最迟完成时间只能减少，故O’也是最优调度，矛盾。

若某最优调度O有i,j>m，则有某台机器上有Js和Jt，使得s,t≤m。

∵Pi,Pj≤Ps,Pt，交换Pj,Pt，则

Pi+Pt≤Ps+Pt  Pj+Ps≤Ps+Pt，交换后的调度O’的最迟完成时间也是只能减少，故O’也是最优调度，矛盾。

∴必有最优调度使J1,…,Jm分别分配到M1,…,Mm上，当将Jm+1,…,J2m分配到M台机器上时，LPT时将长时间的作业分配到轻负载上，比与该最优调度结果相同。即：

A(I)OPT(I)=1≤43-13m(m≥2)