Opencv2.4学习：：霍夫变换（2）圆变换

霍夫圆变换

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基本原理 

关于基本原理，其思想大概跟霍夫线变换相似，但是有两种说法。

第一种：

在霍夫线变换中，笛卡尔X-Y直角坐标系中的直线，变换到霍夫空间中则为1个点

因此类比可得，笛卡尔X-Y直角坐标系中的圆，变换到abr空间中，则为一条曲线，具体如下：

X-Y直角坐标系下圆方程：

对应的参数方程为：

所以在abr组成的三维坐标系中，一个点可以唯一确定一个圆。

那么，当我们固定（x,y），选取（a,b,r） 的不同组合，可以得到xy直角坐标系中经过某点(X,Y)的所有圆对应，

而在笛卡尔的xy坐标系中经过某一点的所有圆映射到abr坐标系中就是一条三维的曲线。【这句话应该是不严谨的，正确的说法看后面的第二种叙述】

个人认为，上面的话，应该是对于某点（x,y），

固定X时，选取不同(a,r)组合，可以得到一条(a,r)坐标系下的曲线

固定Y时，选取不同(b,r)组合，可以得到一条(b,r)坐标系下的曲线 

这里，我们先继续认为上面的叙述没有问题，即经过点(X,Y)的所有圆变换到（a,b,r）空间下是一条空间曲线。那么这条曲线上的一点，则对应一个圆。

                              

这时候，看（a,b,r）坐标系，若该坐标系中有某点(a,b,r）固定，那么经过该点的空间曲线越多，说明对应笛卡尔X-Y直角坐标系中共圆的点越多。当设定一个阈值，则可判断X-Y坐标系中是否有圆了。

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 第二种：

X-Y直角坐标系下圆方程：

现假设（x,y）是参数，即（x,y）固定，假设为（1，1）

那么以（a,b,r）为变量的方程，对应的空间图形是一个这样一个曲面，貌似是圆锥？

matlab画图代码：

>> a=-8:0.5:8;
>> b=a;
>> [A,B]=meshgrid(a,b);
>> R=sqrt((1-A).^2+(1-B).^2);
>> mesh(A,B,R);

这就跟上面第一种说法的叙述有矛盾了，这里表明在笛卡尔的xy坐标系中经过某一点的所有圆映射到abr坐标系中是一个圆锥体。

那么，在这个曲面上的每一个点，则对应 X-Y坐标系下的一个经过点（x，y）的圆。

也就是说，在（a，b，r）坐标系中，假设有固定的某点(a0,b0,r0），若经过该点的曲面越多，则表示对应X-Y直角坐标系中有多个点共这个圆。

原理部分就先到这里，希望有大神指出纰漏。 

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霍夫梯度法

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上述描述的是标准霍夫圆变换的原理，由于三维空间的计算量大大增大的原因, 标准霍夫圆变化很难被应用到实际中。

实际上，一般用霍夫梯度法来解决这个问题。

基本原理：依据是圆心一定是在圆上的每个点的模向量上(圆上该点切线的法向量), 这些圆上点模向量的交点就是圆心, 霍夫梯度法的

第一步就是找到这些圆心, （圆心包含了圆心处的x和y坐标）这样三维的累加平面就又转化为二维累加平面.

第二步根据所有候选中心的边缘非0像素对其的支持程度来确定半径。简单来说，就是从圆心到圆周上的任意一点的距离（即半径）是相同，只要确定一个阈值，只要相同距离的数量大于该阈值，我们就认为该距离就是该圆心所对应的圆半径，该方法只需要计算半径直方图，不使用霍夫空间。

下引用给出两个版本解释的霍夫梯度法操作具体过程：

引用参考：https://blog.csdn.net/qq_37059483/article/details/77916655

version 1:

2-1霍夫变换的具体步骤为：

1）首先对图像进行边缘检测，调用opencv自带的cvCanny()函数，将图像二值化，得到边缘图像。
2）对边缘图像上的每一个非零点【即边缘点】。采用cvSobel()函数，计算x方向导数和y方向的导数，从而得到梯度。从边缘点，沿着梯度和梯度的反方向，对参数指定的min_radius到max_radium的每一个像素，在累加器中被累加。同时记下边缘图像中每一个非0点的位置。
3）从（二维）累加器中这些点中选择候选中心。这些中心都大于给定的阈值和其相邻的四个邻域点的累加值。
4）对于这些候选中心按照累加值降序排序，以便于最支持的像素的中心首次出现。
5）对于每一个中心，考虑到所有的非0像素（非0，梯度不为0），这些像素按照与其中心的距离排序，从最大支持的中心的最小距离算起，选择非零像素最支持的一条半径。
6）如果一个中心受到边缘图像非0像素的充分支持，并且到前期被选择的中心有足够的距离。则将圆心和半径压入到序列中，得以保留。
 

version 2:

第一阶段：检测圆心

1.1、对输入图像边缘检测；

1.2、考虑其局部梯度，即用Sobel（）函数计算x和y方向的Sobel一阶导数得到梯度，即得到切线的法向量【指向圆心】

（这里容易把偏导、切线、梯度、法向量混淆，为此我还回去看了几天的高数下册，在下面给出一些归纳）

1.3、在二维霍夫空间内，绘出所有图形的梯度直线，某坐标点上累加和的值越大，说明在该点上直线相交的次数越多，也就是越有可能是圆心；(备注：这只是直观的想法，实际源码并没有划线)

1.4、在霍夫空间的4邻域内进行非最大值抑制；

1.5、设定一个阈值，霍夫空间内累加和大于该阈值的点就对应于圆心。

第二阶段：检测圆半径

2.1、计算某一个圆心到所有圆周线(假定为边缘检测出来的边缘)的距离，这些距离中就有该圆心所对应的圆的半径的值，这些半径值当然是相等的，并且这些圆半径的数量要远远大于其他距离值相等的数量

2.2、设定两个阈值，定义为最大半径和最小半径，保留距离在这两个半径之间的值，这意味着我们检测的圆不能太大，也不能太小

2.3、对保留下来的距离进行排序

2.4、找到距离相同的那些值，并计算相同值的数量

2.5、设定一个阈值，只有相同值的数量大于该阈值，才认为该值是该圆心对应的圆半径

2.6、对每一个圆心，完成上面的2.1～2.5步骤，得到所有的圆半径

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番外：切向量&&法向量

先给出切向量的大概推导：

意思是：对于2维下参数方程，某点处的切向量为分量对参数求导（x'(t0)，y'(t0)）

由此，可以得到以下归纳：

在非参数方程的归纳中，将x看作是参数，将问题转化为参数方程下的切向量和法向量问题，

最终加上隐函数求导法则，可以推出2维下某点的梯度即为该点处的法向量

另外还可以参见：https://wenku.baidu.com/view/7cd9ee6d7e21af45b307a8a1.html

不过该文章全篇基本用的是偏导和隐函数求导，与上述归纳有所出入，实质是一样的。

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核心函数：

void HoughCircles( InputArray image, OutputArray circles,
                               int method, double dp, double minDist,
                               double param1=100, double param2=100,
                               int minRadius=0, int maxRadius=0 );

• 第一个参数image是输入图像矩阵，要求是灰度图像；
• 第二个参数 circles是输出，是一个包含检测到的圆的信息的向量，向量内第一个元素是圆的横坐标，第二个是纵坐标，第三个是半径大小；
• 第三个参数 methodmethod是所使用的圆检测算法，目前只有CV_HOUGH_GRADIENT一个可选；
• 第四个参数 dp是累加面与原始图像相比的分辨率的反比参数，dp=2时累计面分辨率是元素图像的一半，宽高都缩减为原来的一半，dp=1时，两者相同。（关于这个分辨率的概念没有理解透，按道理低分辨率应该意味着更快的检测速度，然而实测恰恰相反）
• 第五个参数 minDist定义了两个圆心之间的最小距离；
• 第六个参数param1是Canny边缘检测的高阈值，低阈值被自动置为高阈值的一半；
• 第七个参数param2是累加平面对是否是圆的判定阈值；
• 第八和第九个参数定义了检测到的圆的半径的最大值和最小值；

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测试代码：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
using namespace cv;

void main()
{
	Mat srcImage = imread("F:\\opencv_re_learn\\circle.jpg");
	if (!srcImage.data){
		cout << "failed to read" << endl;
		system("pause");
		return;
	}
	imshow("srcImage", srcImage);
	//转换为灰度图像
	Mat src_gray;
	cvtColor(srcImage, src_gray, CV_BGR2GRAY);
	//高斯滤波
	GaussianBlur(src_gray, src_gray, Size(9, 9), 2, 2);
	vectorcircles;
	//霍夫圆检测
	HoughCircles(src_gray, circles, CV_HOUGH_GRADIENT, 1, src_gray.rows / 8,
		200, 100, 0, 0);
	//将得到的结果绘图
	for (size_t i = 0; i < circles.size(); i++){
		Point center(cvRound(circles[i][0]), cvRound(circles[i][1]));
		int radius = cvRound(circles[i][2]);
		//绘制圆心
		circle(srcImage, center, 3, Scalar(0, 255, 0),
			-1, 8, 0);
		//绘制圆
		circle(srcImage, center, radius, Scalar(0, 0, 255), 3, 8, 0);
	}
	imshow("HoughResult", srcImage);
	waitKey(0);
}

实现效果： 

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快速调参版：

#include  
#include  
#include  
#include  
#include  
using namespace std;
using namespace cv;
//bgr图像  
Mat bgr;
Mat srcImage;
Mat srcGray;
//HSV图像  
Mat hsv;
//分辨率  
int px = 1;//分辨率取值
int px_Max = 5; //分辨率可取的最大值
//圆心最小距离  
int center_distance = 10;//圆心最小距离取值
int center_distance_Max = 200; //圆心最小距离取值可取的最大值
//Canny边缘检测高阈值  【值越大，找到的边缘越少】 
int Canny_value = 200;//
int Canny_value_Max = 300;//Canny边缘检测高阈值可取的最大值
//圆的判定阈值 
int acc_circle = 100;
int acc_circle_Max = 300;//圆的判定阈值可取的最大值
//圆的半径最小值
int r_min = 0;
int r_min_Max = 300;//圆的半径最小值可取的最大值
//圆的半径最大值
int r_max= 0;
int r_max_Max = 500;//圆的半径最大值可取的最大值

//显示原图的窗口  
string windowName = "src";
//输出图像的显示窗口  
string dstName = "dst";
//输出图像  
Mat dst;
//回调函数  
void callBack(int, void*)
{
	bgr = srcImage.clone();
	vectorcircles;
	//霍夫圆检测
	HoughCircles(srcGray, circles, CV_HOUGH_GRADIENT, px, center_distance,
		Canny_value, acc_circle, r_min, r_max);
	//将得到的结果绘图
	for (size_t i = 0; i < circles.size(); i++){
		Point center(cvRound(circles[i][0]), cvRound(circles[i][1]));
		int radius = cvRound(circles[i][2]);
		//绘制圆心
		circle(bgr, center, 3, Scalar(0, 255, 0),
			-1, 8, 0);
		//绘制圆
		circle(bgr, center, radius, Scalar(0, 0, 255), 3, 8, 0);
	}
	imshow(dstName, bgr);
}
int main()
{
	//输入图像  
	srcImage = imread("F:\\opencv_re_learn\\circle2.jpg");
	if (!srcImage.data){
		cout << "falied to read" << endl;
		system("pause");
		return -1;
	}
	imshow(windowName, srcImage);
	//颜色空间转换  
	cvtColor(srcImage, srcGray, CV_BGR2GRAY);
	//高斯滤波
	GaussianBlur(srcGray, srcGray, Size(9, 9), 2, 2);
	//定义输出图像的显示窗口  
	namedWindow(dstName, CV_WINDOW_AUTOSIZE);
	//分辨率 
	createTrackbar("px", dstName, &px, px_Max, callBack);
	//圆心最小距离  
	createTrackbar("distance", dstName, ¢er_distance, center_distance_Max, callBack);
	//Canny边缘检测高阈值
	createTrackbar("Canny_value", dstName, &Canny_value, Canny_value_Max, callBack);
	//圆的判定阈值 
	createTrackbar("acc_circle", dstName, &acc_circle, acc_circle_Max, callBack);
	//圆的半径最小值
	createTrackbar("r_min", dstName, &r_min, r_min_Max, callBack);
	//圆的半径最大值
	createTrackbar("r_max", dstName, &r_max, r_max_Max, callBack);
	callBack(0, 0);
	waitKey(0);
	return 0;
}

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参考文章：

https://blog.csdn.net/xia316104/article/details/44781157 

https://blog.csdn.net/qq_37059483/article/details/77916655

https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52506538