矩阵的列空间、行空间、维数、秩理解

列空间 ColA

对于 m×n 矩阵 A   列空间就是 A的各列的线性组合的集合，记为 ColA，是的 一个子空间，由 矩阵的主元列构成，即Ax=b中，方程的解基本变量。

 

零空间 NulA

对于 m×n 矩阵 A   零空间就是 齐次方程 Ax=0 的 所有解得 集合 ，记 NulA，是 的一个子空间，由 Ax=0 的解构成，即 Ax=0 的解中的 自由变量

 

子空间的基

中 子空间H的一组基是H中的一个线性无关集，它可以生成 H

 

维数 dimH

非零子空间H的维数（dimH）是H的任意一个基的向量个数

 

秩 rankA

矩阵A的秩（rankA）是A列空间的维数，也就是矩阵A主元列的个数

 

秩定理

如果一个矩阵A 有n列，则 rankA+ dimNulA=n

即列空间的维数和零空间的维数之和为n，也就是 主元列的个数+非主元列的个数为n，也就是 基本变量+自由变量的个数为 n

 

举例：

矩阵 A=

  

经过化简为

显然主元列 为 第一列、第二列、第五列

则列空间的基为 原来的矩阵的主元列

、、           维数为3

零 空间 即: Ax=0

可以得出      

所以零空间为       维数为3

 

由此可以看出 列空间 就是主元列 、 零空间就是非主元列

满秩矩阵

所以可以看出，满秩矩阵就是 rankA=n 的矩阵 ，也就是 全部都是主元列 ，也就是所有列都是 线性无关。

行满秩矩阵 就是 行向量之间线性无关 ，列满秩矩阵 就是 列向量之间线性无关

对于方阵 来说  满秩矩阵 可以说明 这是一个 可逆矩阵（非奇异矩阵）

满秩矩阵是一个很重要的概念, 它是判断一个矩阵是否可逆的充分必要条件

一个方阵A是可逆的当且仅当A的行列式不等于0.

因为当A的行列式等于0，则A的行是线性相关的，即A的转置是线性相关的，则A的转置不可逆，则A就不可逆了。