ARMA（模型）的p,q参数判定
AR(p)模型与MA(q)实际上是ARMA(p,q)模型的特例。它们都统称为ARMA模型，而ARMA（p,q）模型的统计性质也是AR（p）与MA（q）模型的统计性质的有机组合。
平稳系列建模
假如某个观察值序列通过序列预处理可以判定为平稳非白噪声序列，就可以利用ARMA模型对序列建模。
1.求出该观察值序列的样本自相关系数（ACF）与偏相关系数（PACF的值。
2.根据根样本自相关系数和偏自相关系数的性质，选择阶数适当的ARMA（p,q）模型进行拟合。
3.估计模型中未知参数的值
4.检验模型的有效性。如果拟合模型未通过检验，回到步骤（2）,重新选择模型拟合。
5.模型优化。如果拟合模型通过检验，仍然回到步骤（2），充分考虑各种可能，建立多个拟合模型，从所有通过检验的拟合的模型中选择最优模型。
6.利用拟合模型，预测序列将来的走势。
AR(P)
选择合适的模型拟合1950-2008年我国邮路及农村投递线路每年新增里程数序列：
白噪声检验：
for(i in 1:2) print(Box.test(x,type = "Ljung-Box",lag=6*i))
Box-Ljung test
data: x
X-squared = 37.754, df = 6, p-value = 1.255e-06
Box-Ljung test
data: x
X-squared = 44.62, df = 12, p-value = 1.197e-05
绘制自相关图和偏自相关图
acf(x)
pacf(x)
ACF
PACF
时序图显示，序列没有显著的非平稳特征，白噪声检验显示序列值之间蕴含着相关关系，为非白噪声序列。
自相关图显示，除了延迟1~3阶的自相关系数在2倍标准差范围之外，其它的阶数自相关系数在2倍标准差范围内波动，根据自相关系数的这个特点，可以判断该序列具有短期相关性，进一步确定序列平稳。在进一步考察自相关系数的衰减到零的过程，可以看到明显的正弦波动轨迹，这说明自相关系数衰减到零不是一个突然的过程，而是一个连续渐变过程， 这是自相关系数拖尾的典型特征，我们可以把拖尾特征形象描绘为“坐着滑梯落水”。
最后考察偏自相关系数衰减到零的过程，除了1~2阶偏自相关系数在2倍标准差范围之外，其他除数的偏自相关系数都在2倍标准差的范围内，这是一个偏自相关系数2阶截尾的典型特征，我们可以把这种截尾形象的描述为“2阶之后高台跳水溅起水花点点”。
根据自相关系数拖尾，偏自相关系数2阶截尾属性，我们可以初步确定拟合模型为AR（2）。
MA(q)
选择合适的ARMA模型拟合某个加油站连续57天的overshort:
序列时序图
白噪声检测:
for(i in 1:2) print(Box.test(overshort,type = "Ljung-Box",lag=6*i))
Box-Ljung test
data: overshort
X-squared = 20.239, df = 6, p-value = 0.002511
Box-Ljung test
data: overshort
X-squared = 31.366, df = 12, p-value = 0.001732
绘制自相关图和偏自相关图
acf(overshort)
pacf(overshort)
ACF
PACF
自相关图显示除了延迟1阶的自相关系数在2倍标准差范围之外，其他阶数的自相关系数都在2倍标准差范围内波动。根据自相关系数这个特点可以判定该序列具有短期相关性，进一步确定序列平稳，同时，可以认为该序列自相关系数一阶截尾。
偏自相关系数显示出非截尾的性质，综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，为拟合模型定阶为MA（1）。
ARMA(p,q)
选择合适的ARMA模型拟合1880-1985年全球气表平均温度改变值差分序列。
全球气表平均温度改变值差分时序列
白噪声检测：
for(i in 1:2) print(Box.test(dif_x,type = "Ljung-Box",lag=6*i))
Box-Ljung test
data: dif_x
X-squared = 17.436, df = 6, p-value = 0.007807
Box-Ljung test
data: dif_x
X-squared = 26.266, df = 12, p-value = 0.009841
绘制自相关图与偏自相关图：
acf(dif_x)
pacf(dif_x)
ACF
PACF
自相关系数与偏相关系数均显示出不截尾的性质，因此可以尝试使用ARMA（1，1）拟合该序列。
auto.arima自动给出估计值
为了尽量避免因个人经验不足而导致的模型识别不准确的问题，R提供了auto.arima函数。该函数基于信息量最小原则自动识别模型阶数，并给出了该模型的参数估计值。需要先加载zoo和forecast.
auto.arima(x,max.p = ,max.q= ,ic)
-x：需要定阶的序列名。
-max.p:自相关系数的最高阶数，不特殊指定的话，系统的默认值为5。
-max.q:移动平均系数最高阶数，不特殊指定的话，系统的默认值为5。
-ic:指定信息量准则。有“aicc”，“aic”，“bic”三个选型，系统默认AIC准则。
有时选择不同的信息量准则会导致模型的识别阶数不同，有时系数指定的模型阶数高于真实阶数。
对上面三个例子分别使用auto.arima函数。
AR(2)
auto.arima(x)
Series: x
ARIMA(2,0,0) with non-zero mean
Coefficients:
ar1 ar2 mean
0.7185 -0.5294 11.0226
s.e. 0.1083 0.1067 3.0906
sigma^2 estimated as 384.7: log likelihood=-258.23
AIC=524.46 AICc=525.2 BIC=532.77MA(1)
auto.arima(overshort)
Series: overshort
ARIMA(0,0,1) with non-zero mean
Coefficients:
ma1 mean
-0.8477 -4.7945
s.e. 0.1206 1.0252
sigma^2 estimated as 2093: log likelihood=-298.42
AIC=602.84 AICc=603.29 BIC=608.97ARMA(1,1)
auto.arima(dif_x)
Series: dif_x
ARIMA(1,0,1) with non-zero mean
Coefficients:
ar1 ma1 mean
0.3926 -0.8867 0.0053
s.e. 0.1180 0.0604 0.0024
sigma^2 estimated as 0.01586: log likelihood=69.66
AIC=-131.32 AICc=-130.92 BIC=-120.71