平稳多元序列建模

1970年，Box和Jenkins采用带输入变量的ARIMA模型，为平稳多元序列建模。
该模型构建的思想是：假设响应序列{Yt}和输入序列（即自变量序列）{X1t},{X2t}…{Xnt}均平稳，首先构建响应序列与输入序列的回归模型：



在天然气炉中，输入的是天然气，输出的是CO2,CO2的输出浓度与天然气的输入速率有关系，现在以中心化后的天然气输入序列，建立CO2的输出百分浓度模型。

#读入数据，并绘制输出序列时序图
a<-read.table("D:/R-TT/book4/4R/data/file24.csv",sep=",",header = T)
y<-ts(a$output)
plot(y)

输出序列时序图

#考察输出序列自相关图和偏自相关图
acf(y)
pacf(y)

输出序列自相关图
!输出序列偏自相关图

输出序列偏自相关图
如果不考虑输入序列和输出序列之间的相关性，将它们做为两个独立一元时间序列进行分析，那么输出序列波动平稳，自相关系数拖尾，偏自相关系数4阶截尾，所以拟合AR(4)模型。

> #对输出序列拟合模型AR(4)
> y.fit<-arima(y,order=c(4,0,0))
> y.fit

Call:
arima(x = y, order = c(4, 0, 0))

Coefficients:
         ar1      ar2      ar3     ar4  intercept
      2.0976  -1.3243  -0.0071  0.2124    53.6880
s.e.  0.0565   0.1344   0.1345  0.0566     0.8679

sigma^2 estimated as 0.1105:  log likelihood = -97.28,  aic
= 206.56

模型口径为：

考虑到输入天然气速率与输出CO2浓度之间有逻辑上的因果关系，将输入天然气速率作为输入变量考虑进输出序列的模型中。通过协相关图，考察回归模型的结构，其中延迟k协方差函数定义为：

R语言中调用ccf函数可以直接绘制相关协方图

#协相关图
x <- ts(a$input)
ccf(y,x)

输出序列与输入序列的协相关图
ccf函数中x序列与y序列的位置可以随意放置，协相关图形状不变。ccf(x,y)表示x比y滞后的情况。ccf(y,x)表示y比x滞后的情况，上图显示输出序列y比输入序列x滞后5期左右。
考察协相关图可以看出，输入序列和输出序列之间具有长期的协相关关系，如果要建立输出序列关于输入序列的线性回归分析模型：