牛客 SHUFFLE洗牌 找规律 逆元

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来源：牛客网

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64bit IO Format: %lld
题目描述
为了表彰小联为Samuel星球的探险所做出的贡献，小联被邀请参加Samuel星球近距离载人探险活动。 由于Samuel星球相当遥远，科学家们要在飞船中度过相当长的一段时间，小联提议用扑克牌打发长途旅行中的无聊时间。玩了几局之后，大家觉得单纯玩扑克牌对于像他们这样的高智商人才来说太简单了。有人提出了扑克牌的一种新的玩法。 对于扑克牌的一次洗牌是这样定义的，将一叠N（N为偶数）张扑克牌平均分成上下两叠，取下面一叠的第一张作为新的一叠的第一张，然后取上面一叠的第一张作为新的一叠的第二张，再取下面一叠的第二张作为新的一叠的第三张……如此交替直到所有的牌取完。 如果对一叠6张的扑克牌1 2 3 4 5 6，进行一次洗牌的过程如下图所示：

从图中可以看出经过一次洗牌，序列1 2 3 4 5 6变为4 1 5 2 6 3。当然，再对得到的序列进行一次洗牌，又会变为2 4 6 1 3 5。 游戏是这样的，如果给定长度为N的一叠扑克牌，并且牌面大小从1开始连续增加到N（不考虑花色），对这样的一叠扑克牌，进行M次洗牌。最先说出经过洗牌后的扑克牌序列中第L张扑克牌的牌面大小是多少的科学家得胜。小联想赢取游戏的胜利，你能帮助他吗？
输入描述:
有三个用空格间隔的整数，分别表示N，M，L （其中0＜ N ≤ 10 ^ 10 ，0 ≤ M ≤ 10^ 10，且N为偶数）。
输出描述:
单行输出指定的扑克牌的牌面大小。
示例1
输入

6 2 3
输出

6
问题连接

问题分析

列几个例子，可以看出规律。
如果有N=2×n张牌，第i个位置的牌经历一次洗牌后，如果i<=n，那么洗牌后它会在2×i的位置；如果n 那么知道这一点后，可以列出起初的第base张牌经历M次洗牌后到达的位置L的方程：
base×2^M≡L (mod N+1)。
转换形式：base=L×(2^M)^-1(mod N+1)，
其中(2^M)^-1是2^M对(N+1)取模的乘法逆元，这个一定是可以用扩展欧几里得求解，因为N+1与2是互质的。所以先求出2^M(mod N+1)，再求出(2^M)^-1(mod N+1)，然后就是乘法取模运算，就能解出base了。

代码如下

#include
using namespace std;
typedef long long ll;

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){//扩展欧几里得算法
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return;
	}
	ll x1,y1;
	exgcd(b,a%b,x1,y1);
	x=y1;
	y=x1-(a/b)*y1;
}

ll inv(ll a,ll mod){//逆元
	ll x,y;
	exgcd(a,mod,x,y);
	return (x%mod+mod)%mod;
}

ll qpow(ll base,ll p,ll mod){//快速幂取模
	ll ans=1;
	while(p){
		if(p&1){
			ans*=base;
			ans%=mod;
		}
		base=(base*base)%mod;
		p>>=1;
	}
	return ans;
}

int main(){
	ll n,m,l,q,ans;
	scanf("%lld %lld %lld",&n,&m,&l);
	n++;
	q=qpow(2,m,n);
	ans=((l%n)*(inv(q,n)))%n;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}