Codeforces - 327C. Magic Five - 组合数学

Magic Five

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分类：combinatorics math

1.题目描述

• 给出一个字符串a和一个整数k，表示这个字符串s是由k个a连接得到的，要求任意删除字符串s中的任意位上的字符，使得删除后的字符串表示的数能被5整除。
  
  • 题目说明所求结果可能包含前导0的情况，即5和05算两种情况。

2.解题思路

• 对于一个串，我们很容易知道对于某一位i是0或5，有 2i 种选法（字符串从第0位开始，第i位确定）一个串的选法也很容易求出，按顺序求出每一位的选法，加起来（设一个串有 k 种选法，那么对于多个串，第二个串的某一位i（对于该串的第i位），有 2lens+i 种选法，即 2i×2lens 种选法。这样的话，选法之和可以提取为 k⋅2lens 种选法，这样的话，m个串的选法之和可以整理为等比数列之和，等比数列公式为 ai=(i−1)⋅k⋅2lens 按照等比数列求和公式我们得到m个串的和 Tm=1−2m⋅lens1−2lens%mod ，接下来就是逆元，根据费马小定理 ab≡1(%p)⇒ap−1≡1(%p) 其中逆元就是 ap−2 。

3.AC代码

#include 
using namespace std;
#define eps 1e-6
#define e exp(1.0)
#define pi acos(-1.0)
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define SZ(x) ((int)(x).size())
#define All(x) (x).begin(),(x).end()
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i
#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)
#define Close() ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 100010
#define N 1111
typedef vector<int> VI;
typedef pair<int, int> PII;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int mod = 1e9 + 7;
/* head */
char a[maxn];
ll quickpow(ll a, ll b) {
    ll ans = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
    long _begin_time = clock();
#endif
    ll k, cnt = 0;
    scanf("%s%I64d", a, &k);
    int len = strlen(a);
    rep(i, 0, len)
        if(a[i] == '0' || a[i] == '5')
            cnt = (cnt + quickpow(2, i)) % mod;
    ll x = quickpow(2, len);
    ll y = quickpow(x, k);
    x = ((1 - x) % mod + mod) % mod;
    y = ((1 - y) % mod + mod) % mod;
    printf("%lld\n", cnt * (y * quickpow(x, mod - 2) % mod) % mod);
#ifndef ONLINE_JUDGE
         long _end_time = clock();
    printf("time = %ld ms.", _end_time - _begin_time);
#endif
    return 0;
}